Die Anwendung der Häufungsmetliode etc. 
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nachbarte Gebiet der genauen Rechnung übertreten ; die Hyperbeln 
</)' = 1® und 5 ® verlaufen für die Genauigkeit 0,5' ganz im Gebiete 
der approximativen Rechnung. Je größer die verlangte Genauigkeit, 
d. h. je kleiner zl, desto größer wird das auf der konkaven Seite 
der Grenzkurven liegende Gebiet der genauen Rechnung. 
Dieses Probierverfahren reicht zur genauen Ermittlung des 
Verlaufes der Grenzkurven nicht aus, insbesondere für kleinere 
Werte /l. Deshalb müßte der Unterschied zwischen den Formeln (1) 
und(la) durch Rechnung bestimmt werden. Wir bekommen durch 
Reihenentwicklung : 
... . . . ■ I <f ’t” 
aus ( 1 ) : sm (^' = sin 7 sin o = sin q ( ^ , "^ 51 r . • • 
aus (1 a) : 
, , ^ .... . t (P 7 = siiPp , 7^sinU) 
sin 7. + .i/ = sin {(f sin p) = sin o I ~ h • • • 
i^) 
Durch diese beiden Formeln ist vor allem ^ detiniert, welches 
wir bis jetzt eigentlich nur zur bequemeren Hezeichnung einer 
Grenzkurve gebraucht haben. Hier erweist sich J als im Sinusmaß 
ausgedrückte Differenz zwischen sintf' der genauen Formel (1) 
und demjenigen Ausdruck, welchen man bekommt, wenn man den 
Sinus des aus der Näherungsformel ( 1 a) berechneten Winkels 
tp'cx)(f sin Q bildet, also sin (</) sin p). Dazu muß noch bemerkt 
werden, daß bei gleichzeitiger Substitution von <f ' und cf statt sinq' 
und sinip beim Übergang von der Gleichung (1) zur Gleichung (1 a) 
die rechte Seite der Gleichung mehr vergrößert wird als die linke, 
weil (f > q ‘ ist. Deshalb ist sin q und infolgedessen auch 
sin q'' ■< sin (fp sin p). Zur Wiederherstellung der Gleichheit muß 
also eine positive Größe ^ zu sin y/ addiert werden. 
Aus den Gleichungen (3) ergibt sich nun für 
= sinp^|y (1 — sin’p) — (1 — sinV)+ (1 — sin«p) 
= sinpcosU>r ^(1 + sin^p) + -^y (1 + sinUj + sin’p) 
Diese Reihe gibt abwechselnd zu große oder zu kleine Werte 
für z/, je nachdem, ob man sie vor einem negativen oder positiven 
Glied abbricht, z/ kann also mit jeder gewünschten Genauigkeit 
zwischen zwei Werten eingeschlossen werden, z. B. in erster An- 
näherung 
sin p cos^ p sin p cos^p (1 -f siiPp) < ^ <i sin p cos* p. 
O . O ; ö ! 
Alles, was hier über den Vergleich von (la) mit (1) gesagt 
wurde, gilt ebenso für die Näherungsformel (Ib), dabei wird 
sin (f cos^(f — ry sin cf cos’y (1 + sin^ff) ^ sin cos^(f. 
