Uber besondere zentrale Schnitte etc. 
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wo /r, , Ti f : , teilerfremde ganze Zahlen sind. Im vorliegenden Fall 
ist das einzig dadurch erreichbar, daß die beiden Quadratwurzeln 
sich nur um einen ganzzahligen Faktor unterscheiden. Aus der 
Vergleichung der Koeffizienten von c 2 folgt, daß die erste Wurzel 
mit 2 zu multiplizieren ist. Die gesuchte allgemeine Bedingung 
lautet daher: 
oder gekürzt 
12 r 2 + 4(p — q) 2 3(p + q)* -f (p — q ) 2 
r 2 = pq. 
Alle ganzzahligen Werttripel (p q r), die dieser Gleichung genügen, 
sind Lösungen unseres Problems. Sie lassen sich sofort hinschreiben 
und lauten 
p = cnr, q = eß' 1 . r = + ««/?. 5. 
wo f = + 1 und a und ß alle ganzzahligen, teilerfremden Wert- 
paare durchlaufen. 
Für die Hauptachsen A x und A., der in (p q r) gelegenen 
Schiebungsellipse erhält man : 
A/: — (P + q — 2r). (p — q)Va. 0. 
o. 
A 0 ' : 3 (p + q -f- 2r). (p q) — 4 (p — q) c 
Aus der Zugehörigkeit dieser Komponenten zum rechtwinkligen 
Achsensystem ersieht man leicht, daß die eine der beiden Achsen 
(hier Aj') in der Basis liegt, was natürlich zum vorneherein als 
einzig möglich zu erwarten stand. 
Mit Hilfe der Gleichung 3 findet man aus (i die schief- 
winkligen Komponenten der fraglichen Hauptachsen, nämlich: 
A, : q — r, r — p, p — q. 
A 2 : q + r. — fr + p), — (p — q) 
Zu den Ebenen (pqr), welche den Bedingungen 5 genügen, 
kommt noch ein Flächenbüschel hinzu, das in der Zone [HO] der 
beiden Kreisschnittsebenen liegt und sich darum der eben gegebenen 
Ableitung nicht fügt, da die Geraden Gj und G 2 mit der Zonen- 
achse [110] zusammenfallen. Das allgemeine Symbol dieser Flächen 
ist (ppq), wo p und q teilerfremd, im übrigen aber beliebig sind. 
Die zugeordneten Hauptachsenrichtungen haben die Indizes 
A, : [HO] und A 2 : [q q 2p]. 
Ich beweise noch folgenden, interessanten Satz: Eine von 
zwei Flächen 
Pi = "i 2 > di = ß*- J'j = «, ß v i = 1,2 
bestimmte Zone enthält keine weiteren Flächen dieser 
Form der Indizes. 
Wäre p = a 2 , q = ß 2 , r = aß (a und ß können positiv oder 
negativ sein) eine dritte Fläche der von Ej und E„ gebildeten 
Zone, so hätte man 
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