De ces remarques, on peut tirer les conséquences suivantes : 
1" Du système d'équations canoniques de l’ordre 4 n 
dq< 
(lp\ 
dq'i 
d F 
r/F 
r/F _ 
r/F 
qd t 
5 
dq\ 
dp\ 
ou 
1’ = F (II, G), 
», ( 8 ) 
(9) 
on connaît déjà deux intégrales II = const., et G = const., dont 
l’une peut cire remplacée par F (II, G) = const. 
Il ne faut donc qu'obtenir encore une intégrale de cc système, 
pour pouvoir lui appliquer immédiatement le théorème de 
Poisson. 
2” Dans le cas particulier n = I (auquel je me suis borné dans 
ma note du Bulletin des Sciences math, de Darboux), on a déjà la 
moitié des intégrales du système (8) remplissant la condition (7); 
donc, la seconde moitié des intégrales de ce système s’obtiendra 
par les quadratures d’après le théorème de M. Liouvillc, ou en 
se fondant sur la théorie du dernier multipl cateur de Jacobi. 
5 U Dans le cas général, on peut mettre dans les fonctions II 
et G les constantes quelconques (indéterminées ou numériques) 
au lieu de toutes les variables, lesquelles ne portent pas l’indice i, 
en remplissant la condition suivante : que la même constante 
soit substituée au lieu de la même variable dans les fonctions II 
et G, et que par ces substitutions les variables q { , p,, q , , p\ n'y 
cessent d’exister. 
On obtient ainsi, pour i = 1, 2,... n, les 2 n fonctions de 
4 variables que je désigne respectivement par II,, G| , II.,, G 2 ,.., 
II„, G„. Ces fonctions, évidemment, satisfont aux conditions (6) 
et (7),; donc, si, au lieu de (9), on pose : 
F = F(H 15 G 15 H 2 , Gj, ... H„, G„), 
dans le système (8), il sera complètement intégrable. Car la 
moitié de ses intégrales est : 
H, = const, G, = const, pour i — 1 , 2, ... n, 
dont l'une peut être remplacée par l’intégrale F = const; et 
