comme elles satisfont aux conditions (7), la seconde moitié des 
intégrales de ce système fournit le théorème de M. Liouvillc. 
Remarque. — Dans le 3 e cas on pourrait faire aussi : 
H,= H {q t , q' { ) -+- p\ — G, = G ( 7 ,, q\) -+- p\ + p it pour i = 1 , 2, ... n, 
en désignant par II (q if q',) et G (q i} q]) respectivement les résul- 
tats des subtitutions dans H et G des constantes quelconques au 
lieu de toutes les variables, excepté ç, et q\, pourvu que la con- 
dition ci-dessus mentionnée soit remplie. 
4° On trouve en même temps des résultats parallèles pour 
les équations aux dérivées partielles. Si dans les deux séries des 
variables correspondantes p u pf, p 2 , p%, ... p n , p,,' et ç,, qf, r/ 2 , 
<y' 2 ,... q,„ q„', on choisit dans la première autant de variables que 
l’on veut, et dans la seconde toutes les variables non correspon- 
dantes; si l’on remplace les variables ainsi choisies par les dérivées 
partielles en posant généralement : 
dX dX dX dX 
P = — > P' = T* y = T’ H' ~ ~ r » 
dq dq dp dp 
on trouve : 
a ) Que deux équations II = a, G = 6 forment un système 
jacobicn ou fermé ; 
b) Que l’équation F (II,, G,,... H„, G„) = C s’intégre par la 
séparation des variables, c’est-à-dire que son intégration se 
ramène à celle des groupes séparés II, = a,, G, = (3,; H s = 
a,, G 2 — (3 2 ; etc., à deux variables indépendantes. 
