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8. On trouve une expression plus générale de l’involution en 
considérant, sur la transversale, un point quelconque 0, au lieu 
des points particuliers 1", 2". 
Si, dans l’identité 2), que nous écrirons sous la forme sym- 
bolique 
rtr 
1 = 0 , 
nous remplaçons les distances <5 4 ... en fonction des distances 01, 
au moyen des relations = 01. (1), ... nous obtiendrons : 
*01.02.(1). (2) -t- *'0I'.02'.(1')(2') + /c"01".02".(l") (2") == 0; 
or, les sinus (1) ... sont, pour une même transversale, des 
constantes indépendantes de la position du point 0 sur cette 
transversale; en sorte que l’identité précédente pourra s’écrire, 
en faisant rentrer toutes les constantes en une seule : 
x.01.02 x'.01'.02' h- 1". 01". 02" es 0, 
ou, si l’on veut, 
X . X — X, . X — Xi -+- X' . X — X, . X — x'i - 4 - x" . X — x',' . X — X, == 0 , 
en appelant x, X) ... les distances des points 0, I ,.. à une origine 
quelconque prise sur la transversale; et enfin, symboliquement : 
/// \ 
l X . x — x,.x -Xj = 0() . . . . . 
/ 
». De l’identité même qui exprime que (rois bilatères sont 
conjugués entre eux, nous venons de tirer directement I involu- 
lion, sans passer par le rapport anbarmonique, d’où on la déduit 
habituellement. 
(■) C’est flans la Géométrie de direction de M. P. SfinnET que nous avons 
rencontré pour la première fois cette expression de l’involution. Nous la 
généraliserons plus bas. 
