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Enfin, des modes de démonstration tout à fait analogues 
conduiraient à des théorèmes tels que le suivant : 
Dans un octogone inscrit à une conique, les cotés non adjacents 
se coupent sur une autre conique (*). 
i* l,is . Considérons l’équation 
qui est évidemment celle d’une conique. 
Il est facile de prouver que S,, S z sont les côtés d’un triangle inscrit à la 
courbe; et que ceux du triangle circonscrit à celle-ci, par les sommets du premier, 
J $ 
sont respectivement — H — - = 0, etc. 
«S «5 ’ 
En effet, l’équation précédente peut s’écrire 
(a,Jj -+- a i S l )S i h- — 0 
ou 
= 0 : 
ce qui est l’équation d’une conique rapportée aux bilatères conjugués 
et il en résulte, t° que <T, et se coupent sur la courbe; 2° que A, est 
tangente en ce point d’intersection de S, et de S t , puisque les deux points de ren- 
contre de Al avec la courbe se confondent en ce point. 
De ces relations on déduit très-simplement le théorème de Carnot. 
Mais il en résulte, de plus, que l’équation de la conique, rapportée à ces deux 
riangles, inscrit et circonscrit, pourra s’écrire: 
2C a — ' A, J', A’, -+- Aj^jA, -4- A s Jj Aj = 0. 
Cette forme symétrique d’équation devait conduire à une propriété fort simple 
de ces triangles ; la voici en effet : 
Théorème V. Si, par trois points pris sur une conique, on lui inscrit et 
circonscrit un triangle, une transversale quelconque coupe les cotés de ces deux 
triangles en trois couples de points en évolution. 
Démonstration. Si l’on désigne les points d’intersection de la transversale, avec 
la conique, par 00'; avec les côtés des deux triangles, par I, 2, 3, 1', 2' 3', on 
sait, par le théorème Desargucs, que 00' est en involulion avec 21 et 33', 13 et 22', 
32 et H'; écrivant les relations qui expriment ces involutions, et les multipliant 
membre à membre, on trouvera 
12’. 23'. 31'= l'2.2'3.3'l, 
(*) Voir F. G. S C., p. 88, où sc trouve l’cnoncé, tout à fait général, du théorème 
analogue pour les courbes du >i e ordre. 
