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§ IV 1 ”’. Rapport anharmonique du troisième ordre (*). 
** bl> . Dans son Traité de Géométrie supérieure, M. Chasles a étudié, d’une 
manière complète, les relations qui existent entre les différentes formes du rap- 
port anharmonique du second ordre. 
Il serait sans doute très-intéressant, au point de vue analytique, d’entreprendre 
la même élude pour les rapports anharmoniques du troisième ordre et des ordres 
supérieurs; mais la géométrie aurait, pensons-nous, moins à y gagner. 
Les formes seules du rapport anharmonique du troisième ordre sont au nom- 
bre de 120, en ne comptant, bien entendu, que celles qui commencent par la 
même ligure. Ce nombre, à la vérité, peut être réduit à 60, au moyen des for- 
mules que nous donnerons ci-dessous. On verra même qu’il est aisé de le réduire 
davantage, si l’on veut considérer une forme comme étant réduite à une autre, 
lorsque la somme de leurs valeurs est équivalente à un rapport du second ordre. 
Il n’en est pas moins vrai que le nombre de ces formes sera toujours trop con- 
sidérable, pour que l’énumération complète puisse en être d’une grande utilité à 
la géométrie; et que sera-ce dans les ordres supérieurs au troisième? 
Nous nous bornerons donc à indiquer ici le procédé qui pourrait conduire à 
l’étude des formes du rapport anharmonique du troisième ordre. 
En général, on convient de choisir, parmi les six formes du rapport anharmo- 
nique d'un faisceau de quatre droites a -+- >i.. .40 = 0, comme forme capitale la 
suivante 
(if ->.)(>,->«) 
( lo2**) = » 
(>« ->,)(>*->,) 
parce qu’elle se réduit à lorsque les quatre rayons sont 
a = 0 , /3 = 0 , et -+- ). 5 0 = 0 , a -t- '/ t f3 = Ü , 
et qu’elle est susceptible, alors, de l’interprétation géométrique la plus simple. 
Comme la même raison n’existe pas pour les ordres supérieurs, nous convien- 
drons de prendre pour forme capitale : 
r, = (1234) = 
(A, A») 
de sorte que, dans le cas particulier examiné plus haut, t? ne sera plus égal à r„ 
mais à 1 — r, ; et de même, la forme capitale du rapport des six rayons 
« -+- ii ... e /3 = 0 sera 
(ii — i«) (> s — i 4 ) (i fi — i«) _ (12) , (54) . (SB) 
« ii) (i,-i«) (>«->«) (61). (23). (43)* 
(') Voir Bulletin de ï Academie royale de llelyique , :2 e série, 1. KLV, pp. 88 et suiv., cl 
Heciierches de yèom . sup. 
