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Si, dans la relation fondamentale 1), on remplace (1234i par — 1 -t- (132-4), on 
trouvera 
(123-436) = — (561-4) - (132456) 
ou 
(123-456) -4- (132456) =3 - (1456). 
On trouverait de même 
(123456) -H (123546) == - (1236) 
(123456) -4- (154326) = - (3452) 
6 ) 
On peut retrouver ces relations, ainsi que d’autres, par une voie plus directe. 
Les identités 
a t — a z -4- a, — a, -4- a z — a t ss 0, 
a i K — «s) «s («j — ««) «i («j — = 0, 
d’où l’on peut déduire les relations qui existent entre les diverses formes du rap- 
port du second ordre, ont pour analogues les suivantes : 
"iK — o s )-ha s (a. 2 — — a s ) -4- a s (a 4 - a,) = 0, . 7) 
(«s — a 3 ) («« — ««) -+- a 3 (a a - ««) («e — « 5 ) + «* («s - «s) (°« — 
-4- n s (a 4 — o a ) (a e — a z ) = 0 8) 
Si a, ... représentent, dans ces relations, les distances des points d'intersection 
2 ..., d’une transversale avec les rayons 2 ... , à son point d’intersection 1 avec le 
rayon I, la relation 7) pourra s’écrire 
12 . 35 -4- 13 . 42 -4- 14 . 53 -4- 15 . 24 s 0 , 
ou bien 
12.33.46 13.24.56 14.53.26 15.42.36 
1 == 0. . . 7') 
46 56 26 36 
Divisant celle-ci par 61 . 23.45, ou trouvera (*) : 
(123546) (132456) (145326) (154236) 
(46) * (56) (26) 1 (36) ^ ° 
On obtiendrait d’autres identités entre rapports anharmoniques du troisième 
ordre, en divisant la relation 7) par 12 . 35 . 46, 13. 24 . 56, etc. ; mais , comme la 
relation 8) nous en fournira de plus simples, et tout à fait analogues, nous nous 
bornerons à rechercher celles-ci. 
La relation 8) s’écrira 
12 35.46-4- 13. 42 . 56 -4- 14 . 53 . 26 -4- 15 . 24 ,36a0. S 
(*) Nous transportons ici, aux sinus des angles compris entre les rayons, la relation 
trouvée entre les segments interceptés, sur la transversale, cuire ces rayons. Voir n° 50 ) 
