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§ IV'". De l'involetion de troisième ordre (*). 
** ler . On sait que l’invohilion des trois couples de points 1,2; T, 2'; 1”, 2" 
peul s’exprimer par la relation 
| 11 ' 21 " | . | 12 ' 22 " | = 1 , 1 ) 
et par celles qu’on en déduit en avançant les accents d’un rang, c’est-à-dire en 
changeant 1 en 1', 1' en 1", 1" en 1, ou de deux rangs, en changeant 1 en 1", I' 
en 1 et 1" en 1'. 
L’involution entre les trois ternes de points 1,2,3;!', 2', 3'; 1" ,2", 3", qui 
s’exprime par (voir n° 14) 
n' . i 2 ' . 13' r 1 
11". 12". 13" — L J-2 
peut se traduire aisément en relations analogues aux formules 1 ). 
En ne considérant que les deux premiers membres des égalités 2), on pourra 
les écrire 
11'. 21". 12'. 22". 15'. 23" 
11". 21'. 12". 22'. 15". 23' ~ ’ 
ou 
| U '21" | . | 1 2'22" | 1 3'23" | = 1 ; 3) 
et les formules analogues s’obtiendraient immédiatement par le changement de 1 
en 2, 2 en 3, 3 en 1 , ou de 1 en 3 , 2 en 1 , 3 en 2. 
Mais celles-ci ne renferment que des rapports anharmoniques du second ordre, 
et il s’agirait de pouvoir exprimer l’involulion du troisième ordre au moyen de 
rapports anharmoniques du même ordre. 
L’analogie nous conduit évidemment à écrire la formule 
| 11'21"31'" | . | 12'22"32'" | . | 13'23"33'" | = -l. ... 4) 
ou, symboliquement : 
S’ 
n | n'2i"3i'" | = - î, 
r 
*') 
ainsi que les formules qu’ou obtiendrait en avançant, dans cette dernière, les 
(*) Les formules qui suivent ont été données dans le llullelin de l'Académie, 2 e série 
t. XLV, pp. 90-92. La démonstration donnée ci-dessus est plus simple que relie que noir 
avions trouvée; elle nous a été communiquée par M. Le Paigc. 
