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Substituant ces valeurs, développées, dans l'identité 3), et 
supprimant les fadeurs 3,, 4,, 4 2 , 1 2 , etc., qui seront communs 
à tous les termes, nous trouverons : 
(3)4,) . (4 2 1 2 ) . (4 32 3 ) . (2^3*) ^ (1*1 s) • (2 3 2*) . (5 4 3,) . (4,4 2 ) 
3,4, . 4 2 1 2 . 1 3 2 3 . 2 4 3 4 1 a'1 3 • 2 3 2 4 . 3 4 3, . 4(4* 
_ (i;ô;) . (sui) . (4j2â) . (2;4;i 
1 2 3( . 3j 1 3 . 4,2 3 . 2 4 4 2 
Si nous remarquons que les dénominateurs sont des quantités 
constantes, quel que soit le contre choisi, nous pourrons écrire 
plus simplement : 
(3,4,) . (4 2 1 2 ) . (1 32 3 ) . (2 4 3 4 ) — à (1 2 1 3 ) • (2 3 2 4 ) . (3 4 D|) . (4,4 2 ) 
s/fc(i;3i).(3;ii).(4;2i).(2;4i). 
Or, les différents facteurs, qui entrent dans ces expressions , 
sont les sinus des angles soutendus, au centre du faisceau , par 
les côtés 
1,2, 3,4; 1', 2', 3', 4'; 1", 2", 5", 4", 
qui sont limités respectivement par 
3', 4'; 4',!'; Y, 2'; 2', 3'; 2,3; 3,4; 4,1; 1,2; 
de sorte que la relation précédente s’écrira : 
(1 ) . (2) . (3) . (4) - Y (1 ') . (2') . (3') . (4') = Æ(l").(2'').(3''). (4"), 
et s’énoncera : 
Tlicorcmc XXIII. Si, d’un centre quelconque ( pris dans le plan), 
on mène des rayons aux sommets (*) de trois quadrilatères conju- 
gués entre eux , il existe une relation linéaire entre les produits 
des sinus des angles soutendus, en ce centre, par les quaternes 
respectifs de côtés des trois quadrilatères, 
énoncé qui ne diffère pas, dans le fond, ni de notre extension 
générale du théorème de Pappus n° (23), ni celle du théorème 
de Desargues, n° (23). 
(') Voir plus liant la définition de ces sommets. 
