314 
P. Niggli: 
Ableitung der Eaumsj'steuie meist so vorgegaiigen wird, daß man 
zuerst die möglichen speziellen Formen der Eaumgitter bestimmt 
und dann mit ihnen als etwas Gegebenem weiteroperiert. Der 
iiaclistehend skizzierte Weg scheint mir konsequenter und einfacher 
zu sein. Die zwei mitgeteilten Sätze der Kristalls 3 'inmetrielehre 
des Kontinuums sagen aus, daß es zur Ableitung der 32 Kristall- 
klasseu genügt, die möglichen Kombinationen von durch einen Punkt 
gehenden S 3 'mmetrieelementen aufzusuchen. In gleicher Weise muß 
es möglich sein, die 230 Ra u m S 3 ’ st e m e mathema tisch ab- 
z u 1 e i t e n , i n d e m m a n für d e n R a u ni d e r X i c li t i d e n t i t il t 
alle mit den S 3 " m m e t r i e g e s e t z e n in Einklang stehen- 
den Kombinationen von S 3 ' m m e t r i e e 1 e m e n t e n a u f - 
sucht. Die spezielle Form des Tripels primitiver 
Translationen ergibt sich automatisch aus der ange- 
wandten Kombination. 
Die grundliegenden S 3 unmetrieoperationen sind Drehung um eine 
Achse und Spiegelung an einer Ebene. 
1. Einer n-zähligen Achse (kristallographisch n = 2, 3, 4, ti), 
eigen ist die Rotation um einen bestimmten Winkel derart, daß,' 
wenn diese Rotation n-mal im gleichen Sinne ausgeführt wird, die 
Identität entsteht. Im Kontinuum wird diesen Bedingungen einzig 
die Drehungsachse gerecht, im Diskontinuum, in dem auch in der 
Achsenrichtung identische Punkte einen bestimmten Abstand be- 
sitzen, außerdem die Schraubenachse, deren Translationskomponente 
der Teil eines Ein- oder Vielfachen des Identitätsabstaudes in 
Richtung der Achse ist. 
2 . Einer S 3 ’mmetrieebene im weiteren Sinne eigen ist die 
Spiegelung, die zweimal ausgeführt die Identität ergeben muß. 
Im Diskontinuum gibt es Spiegelebenen und Gleitspiegelebenen, die 
diese Bedingungen erfüllen, letztere dann, wenn der Betrag der 
Gleitung die Hälfte einer primitiven Translation (Identitätsabstand) 
in der Ebene ist. (Gleitspiegelebenen und Spiegelebenen können 
zusammen auch als spiegelnde Ebenen bezeichnet werden.) 
3. Inversion und Drelispiegelung lassen sich als Produkt zweier 
uacheinauder ausgeführteu Operationen 1 und 2 auf fassen. Gleich- 
gültig, ob man dazu Drehungsachsen oder Schraubenaclisen, Spiegel- 
ebenen oder Gleitspiegelebenen verwendet, entsteht im ersteren Falle 
ein S 3 'mmetriezentrum, im zweiten Falle die Kombination einer 
2 - Zähligen Drehungsachse mit einer Drehspiegelebene. i 
Drehungsachsen erster Art, Schraubenachsen, Spiegelebenen i 
Gleitspiegelebenen, S 3 'inmetriezentren, Drehungsachsen zweiter Art. 
sind die S 3 mmetrieelemente des Diskoutinuums. Sie derart zu 
kombinieren, daß der Abstand paralleler gleichartiger Elemente nicht 
unter einen endlichen Betrag hinnntergehen kann, ist die Aufgabe 
der S 3 'mmetrielehre des Diskontinuums. Die Aufgabe ist jeweileu 
