Uber die Zwillinge der Plagioklase etc. 
2ÖU 
AV = V \V — AW - — a cos,J -f cos« 
AV' = V'W' + AW' = — a cos/» — cos« 
und kann nun in den Dreiecken AVD und AV'H' (in V und V' 
rechtwinklig) ansetzen : 
cos H AV = 
cos B'AV' = 
AV 
AH 
AV' 
AH' 
— a cos ii + cos « 
] 1 + a^ — 2 a cos y 
— a cos /S — cos n 
Y 1 + a* + 2a cos;- 
die Nenner sind die aus den Dreiecken OAIi und OAB' zu ent- 
nehmenden Werte von AB und AB'. 
Aus den beiden letzten Gleichungen berechne man noch, um 
sogleich Gebrauch davon zu machen, die Sinus der beiden Winkel ; 
man findet: 
\ sin*« + a''* sin*,? — 2a(cosi- — cos «cos/#) 
sin HAV = -- — 
V 1 -f a* — 2 a cos y 
sin B'AV' 
\ sin* « -f a* sin* /# -f 2 a (cos y — cos « cos /?) 
■\ 1 a* 2 a cos j' 
Mau kennt jetzt vom Dreieck ABQ zwei Seiten und den ein- 
geschlossenen Winkel, nämlich 
AB = \'l-f-a* — 2acosjs BQ = — ' und < ABQ = 180° — HAV. 
COS jS 
Die schon früher benutzte Formel tga= liefert 
b— acosy 
P V O B Q . sin A B Q _ B Q . sin B AV 
^ AB — BQ. cos ABQ A B BQ . cos B AV 
cos j' ) sin* « + a* sin* ,? — 2 a (cos y — cos n cos ß) 
cos ß 
y 1 4 - — 2 a cos y 
y 1 -j- a* — 2 a cos 
cos y cos « — a cos ß 
cosß yi-fa* — 2a COS/ 
— cos y Y'sin*« 4- a* 
sin* ß — 2 a (cos / — cos « cos ß) 
cos /? (1 + a* — 2 a cos y) — cos y (cos « — a cos jS) 
nnd mit naturgemäßer Umformung des Nenners, den man zugleich 
mit dem Minuszeichen des Zählers vereinigt, 
. _ cos ysin* « + a* sin* /? — 2 a (cos y — cos « cos /?) 
cos« cos y — (1 4 - a*) cos /? -(- a cos ß cos y 
Dies ist die Formel (2). Die ganz übereinstimmende Rechnung 
auf der linken Seite der Figur ergibt die Formel (3). 
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