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Les calculs ont deux avantages fur la méthode 
des anciens. Ils foulagent infiniment l’attention par 
les fymboles qu’ils emploient ; 6c ils ne deman- 
dent que la connoifTance d’un petit nombre de 
théorèmes pour réfoudre les problèmes les plus 
difficiles. Ils font pour les fciences ce que les mé- 
taux font pour le commerce ; ils repréfentent fans 
embarras & procurent fans peine les vraies richeffes. 
Il me femble cependant qu’on tireroit encore plus 
de parti des calculs , fi l’on faifoit plus d’ufage de 
quelques théorèmes que les anciens nous ont laiffés. 
Tels font fur-tout, à mon avis, ceux qui font con- 
tenus dans le livre des Data d’Euclide. il ne renferme 
que quatre-vingts & quinze théorèmes ; Pappus,dans 
fa préface, n’en compte que quatre-vingt-dix). 
De ces théorèmes , au moins quarante font connus 
au moindre géomètre. Il fuffiroit de charger fa mé- 
moire de quarante ou quarante-cinq propofitions de 
plus. Pour en voir l’utilité , confidérons rapidement 
la nature de ces Data, Je tâcherai de me mettre à 
la portée de ceux même qui ne font pas géomètres. 
Quand on commande par exemple , une table à 
un menuifier , ce n eft pas affez de dire qu’on veut 
une table; il faut fixer la matière, la figure, les 
dimenfions. Quand on propofe un problème à un 
géomètre , il faut déterminer certaines chofes. Il 
ne fuffit pas de dire qu’on veut un triangle ; il faut 
déterminer ou la longueur de chaque côté de ce 
triangle ou celle de deux côtés & la grandeur de 
l’angle que ces deux côtés forment , ou la longueur 
d’un côté , & la grandeur des deux angles qui font 
fur ce côté , &c. 
Dans cet exemple, les côtés & les angles, en 
général toutes les chofes qui font déterminées par 
celui qui propofe le problème , s’appellent des don- 
nées ou des data , d’un mot latin que les géomètres 
François ont adopté. Je les appellerai des données par 
convention. Car chaque chofe qui efl donnée de 
cette maniéré efl néceffairement accompagnée d’au- 
tres données , qu’on ne découvre qu’avec quelque 
attention ; par exemple les trois côtés d’un triangle 
étant donnés de longueur , les angles , la furface du 
triangle , la perpendiculaire tirée du fommet d’un 
angle fur le côté oppofé &c. font auffi donnés. 
C’efl ainfi qu’ayant prefcrit au menuifier la forte 
de bois & les dimenfions de ma table , je lui ai aufii 
prefcrit le poids. J’appelle données en conféquence 
les données de la fécondé forte , pour les diflinguer 
de celles de la première, 
Euclide réduifit fous certains chefs tout ce qui 
peut être donné par convention en Géométrie , & fit 
voir les données en conféquence qui néceffairement 
accompagnent chaque donnée par convention. C’efl 
ce que contient fon livre des Data. Les propofitions 
qu’on y trouve , fervent d’abord à faire voir quelles 
conditions d’un problème font fuperfîues , parce 
qu’elles font néceffairement renfermées dans les au- 
tres. En fécond lieu, les mêmes propofitions font 
utiles à réfoudre plufieurs problèmes géométriques 
fans peine & fans calcul , & à fimplifier le calcul né- 
ceffaire à la folution de nombre d’autres. 
Cet article n’eft fait que pour les commençans ; 
c’efl: pourquoi je donnerai un exemple fimple & 
facile de la fécondé utilité des data d’Euclide , en 
réfolvant par une feule propofition de ce livre les 
problèmes 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. de V Arithmétique uni- 
yerfdle de Newton. Quand je la commentai, je ne 
vis pas cette folution. Je n’avois pas affez préfens 
à l’efprit les data que je n’avois lus que fort tard. 
Mon exemple doit engager les jeunes gens qui fe 
dèftinent aux mathématiques à étudier ce livre de 
bonne heure , & à fe le rendre familier. 
La propofition dont je fais ufage , efl la 67 de 
ce traité. L’auteur la démontre en quatre maniérés 
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différentes. Voici la troifleme avec un léger change- 
ment, néceffaire pour faciliter la conflruftion des 
problèmes. La propofition d’Euclide efl. 
Si un triangle a un angle donné , V excès du quarré 
de La fomme des deux côtés qui forment V angle donné , 
fur le quarré de la bafe , ef au triangle en raifort 
donnée. 
Dans le triangle A B C Plane, de Géom. Suppl, 
fig. Z. J. 4.) foit donné l’angle ABC; prolongez le 
côté A B.^ que pour épargner la multiplicité des cas 
& des figures , je fuppoie le plus grand des deux 
côtés qui forment l’angle donné; & prenez B D égale 
k B C-, donc la droite A D eü égale aux deux CB , 
B A enfemble. Du point C tirez fur la droite A D 
la perpendiculaire C E. 
Avant d’entamer la démonflration , je remar- 
querai : 
I®. Que pour cette propofition j’ai fait trois fi- 
gures : la première pour l’angle B aigu ; la fécondé 
pour l’angie B obtus; la troifieme pour le même an- 
gle droit , afin de démontrer tous les cas de cette pro- 
pofition importante. 
Que, comme cette propofition fe démontre 
par la comparaifon des reélangles & des quarrés , 
je me fers des lignes algébriques. Dans ces cas 
le raifonnement des anciens ne différé du calcul 
des modernes , qu’en ce que le fécond s’exprime 
d’une maniéré beaucoup plus courte que le pre- 
mier. Les principales opérations de l’algebre font dé- 
montrées dans le fécond livre ÿ Euclide ; & tout ce 
qu’on prouve par ce fécond livre , efl prouvé algé- 
briquement, auffi bien quand on fe fert des mots que 
quand on fe fert de fignes, 
Démonfrationi 
On fait que 
Âl) = + Z A B xB D ^ Fd~ AB-\. 
zABxBC-\-BC, parce que l’on a fait B D 
égale k B C. On fait auffi que A B -{■ B C = CA L 
Z A B X B 6 , 
oîi il faut prendre le figne -{- pour la 7%. /. dans 
laquelle l’angle A B C aigu ; &: le figne — pour 
la fig. Z , dans laquelle l’angle A B C tii obtus ; 
donc 
A D-C~Â\iAB {D B t B E)ét 
ou bien , 
ËTa-^ ÂTc=t lABxED; 
mais 
zABxED : zABxEC- DE :EC 
^ Z A B X E C efl égal à quatre fois la furface du 
triangle ABC: donc l’excès du quarré de la fomme 
des deux côtés d’un triangle fur le quarré du troi- 
fieme côté Çd A-<~ a C—(^A b b cy — A C 
efl à la furface du triangle ABC, comme D E k 
la quatrième partie de E C. 
Cette raifon efl donnée lorfque l’angle ABC 
efl donné ; parce que , dans ce cas , l’angle A D C^ 
qui en efl la moitié , efl auffi donné ; e’eft pourquoi 
le triangle reérangle CED efl donné d’efpece , & 
la raifon de Z) £ à £ C efl donnée, C. Q. F. D. 
J’ajoute qu’au ffi l'excès du quarré de la bafe fur 
le quarré de la difiérencc des côtés qui forment l'angle 
donné , efi au triangle en raijon donnée. 
Prenez la partie B F égale au côté B C , 
joignez la CF; donc A F efl la différence des 
côtés A B ; B C, 
