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ci’abord 
AF-\-rABY.BF=AB-^BFz:^AB-\-BC-=z 
CA ; Z A B X B E ; 
donc 
cT]5 — ’aF— %A b (^FB + b E^z^zABxEF ; 
mais 
zABxEF'.zABxEC =zF E : E C , 
Sc l’angle B F C ^ moitié de l’angle donné C B D •> 
eû donné , donc le triangle FE C , reâangle en E , 
ell donné d’eipece ; & la raifon dt F E à E C eû 
donné , auffi - bien que celle de F £ au quart de 
E C ; &, la derniere efl: la même que celle de l’excès 
du quarré de la bafe du triangle fur le quarré de la 
différence des deux côtés qui Forment l’angle donné , 
de CA— (^A B B Cy k la fur face du triangle ; 
donc cette raifon ed donnée. 
Cette démonüration s’applique fans peine k la . 
En termes trigonométriques , la première rai- 
fon efl celle de la coîangente de la moitié de l’angle 
donné au quart du rayon , & la fécondé elf celle 
de la tangente de la moitié de l’angle donné au 
quart du rayon. Parce que ÛC E reprelente le rayon, 
E D repréfente la coîangente de l’angle C D E , 
moitié de l’angle donné C B A ; mais F £ _ repré- 
fente la cotangente de l’angle E F C , moitié de 
C B D ^ fupplément de l’angle donné _ 
Obfervez que l’angle D C E’eft droit , puifque les 
angles C-D F ; D F C en(emh\e font un droit, étant 
la moitié des angles A B C ; C B D qui enfemble 
valent deux droits. Ou bien parce que le demi- 
cercle décrit du centre B 6c de l’intervalle B D , 
paffe par les points C , 6c F ^ puifque les droites 
BD; B C ; B F font égales , donc D E : E C = 
CE : E F. 
Nous avons vu que le premier excès eft au qua- 
druple de la lurface du triangle , comme D EkEC ; 
que le fécond excès eft au quadruple de la même 
furfaee , comme F E k E C ; 6c que D E eûk E C 
comme C E k E F. W. en réfulte que le quadruple 
de la furfaee d’un triangle eft moyen proportionel 
entre l’excès du quarré de la fomme de deux côtés 
furie quarré dutroifieme côté , & l'excès du quarré 
du troifieme côté fur le quarré de la différence des 
deux autres côtés. Nous montrerons dans la fuite 
que ce corollaire renferme une propofition trigo- 
nométrique importante , que les modernes démon- 
trent d’une maniéré fort embarraffée. 
De cette propofition réfulte auffi que, fi la raifon 
de l’excès du quarré de la fomme de deux côtés 
d’un triangle fur le quarré du troifieme côté au 
triangle, ou celle de l’excès du quarré du troifieme 
côté fur le quarré de la différence de deux côtés 
au même triangle eft donnée , l’angle E D C ^ ou 
E F C y 6c par conféquent l’angle A B C eû donné. 
C’eft par cette propofition qu’on réfout fans peine 
les problèmes de Newton rendus généraux, ils fe ré- 
duifent à décrire un triangle , étant donnés. 
1°. Un angle, le périmètre , 6c la perpendiculaire 
tirée de l’angle donné fur le côté oppofé. C’eft le 
probl. IV de V Arithmétique univerfelle. 
z°. Un angle , le côté oppofé à l’angle donné , 
6c la fomme des deux côtés qui forment l’angle 
donné & de la perpendiculaire tirée de l’angle don- 
né fur le côté oppofé 6c donné. C’eft le problè- 
me V. 
3^^. Un angle , la fomme des côtés qui le for- 
ment , 6c la perpendiculaire tirée de l’angle donné 
fur le côté oppofé. C’eft le probl. VI. 
4°. Un angle , la fomme des côtés qui le forment , 
6c la fomme de la bafe 6c de la perpendiculaire 
Tome /. 
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tirée de l’angle donné fur le côté oppofé. C’eft le 
probl. Vîl. 
5°. Un angle , la furfaee , 6c le périmètre. C’eft îe 
probl. vm. 
6®. La bafe , la perpendiculaire élevée fur la bafe, 
6c la fomme des deux côtés. C’eft lé probl. IX. 
7°. Un angle, la fomme des côtés qui le forment 
6c le côté oppofé. C’eft le probl. X. 
I®. Soit donc A B B C ^ CA =.a’^ C E=^i>^ 
AB — X ; donc B C CA — a— x, ( jufqu’ici 
comme- Newton') ; ( B C C Ay ~ a- — a — t ; 
{BCyCAy -BA — a^-'zax;6cABxBC—hx. 
Mais , par la propofition précédente , la raifon 
de a- — 2 a xk Z h X eû donnée. Soit donc 
a^~ Z a X : zb x z=.c : b ^ donc ~ z ax ■=.x 
ex, 
a^=zex-{-'2‘tix;6c 
2 e -t- 2 a 
Z=Z X. 
2®. SoûAC-{-CB + CE=:a;AB=b;CE=x; 
par confequent A C C B — a x ^ comme dans 
New ton. Mais ^ A C -j- C By zx cC — z n x ~j- ^ 
(^AC-\-C By — A B — — z a x t x'^ — F ; 
A B X C E — b X ; 6c par la propofition pré- 
cédente , 
F — Z a X x'^ : zb X — e : b \ 
donc 
— 2Æx-f x^— 2^’= Z ex ; 6c F— b^— z a x 
2 e X — X^. 
Ces deux conclufions s’accordent avec celles de 
Newton , qui fait droit l’angle donné. Car dans ce 
cas la tangente de la moitié de l’angle droit eÛ=.b 
dans ces deux problèmes. 
3®. Soit^C-f CB - a; Ç E b A B - x , 
comme Newton dans la fécondé foltition. Ici C-j- 
CByzx F ; {AC ^ CBy-^ B- ~ F - x%- 
A B xC E — b X ; 6c F —x^ : z b x z= c : b ; par 
conféquent F — x- = z e x , comme Newton. 
4®. Soit ACû-CB— a;AB-{. CE =z b; 
A B —y. Donc {A C C By — AB — F — y'^ 
CE zx b — y ; CExABxzby— y'^. Mais 
F — y^ : zby zy^^ zx e : b : donc F — y^~ = 
2, e 
zey 
Cette équation , quand l’angle eft droit , 6 c par 
conféquent é = é, devient Fxzzby-yA équation 
que Newton auroit trouvé , fi, au lieu d’exterminer 
y , il a voit exterminé x. 
5 °. Soit A l’angle donné , & A C-f CB B Azx a ; 
A B xC Ezx zF ; B C xzy ; donc B A A Czx a —y; 
{B A A Cyzx F — z a y -j- y^ ; {B A ~\- A Cy — 
B C^ zx F — z a y ; 6c 
F^ — 2 ay : 4^^ zxe: b ; donc F — z a y zx ^b Cy 
6®. Soit C E a ; A B zx z b ; B C -\-C A zx z e ; 
BC— CAzxzi^; donc {B C -p C Ay ~~ A B zx 
4F — j!^F , La furfaee du triangle = ^ q,. 
A B — {B C — C Ay zx 4 b'" ■— 4 y. Mais par le 
théorème , 
4&- — 4b^ : 4 ah — 4a b : 4F 4y ; 
donc 
~ — — r= F- — y ; 6 cyzxb^— - -- - - , comme 
b 
Newton. 
c^ — F ’ 
7°. Enfin foit C l’angle donné A C C B zxzh ; 
A B zx a; CEzxy {A CA CBy -' aB^xz 4F -■ F ; 
A BxC E zx a y ; mais 4b'^ — F : 2 a y zx f : a ; 
donc 4 b'" F" zx zfy* 
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