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de la Grange , qui l’a donnée dans les volumes 
jCXlîl Sc \JCIV des Mémoires de Berlin. 
Le premier point que propofe M. de la Grange 
eft de trouver toutes les racines réelles , pofitives 
& inégales d’une équation ; mais pour cela il faut 
commencer par connoître le nombre de ces racines. 
Soit donc la propofée xi-a. x—b . x ~c , . . . = o, 
il efî: aifé de voir que fi je nlets à la place de x 
un nombre pofitif quelconque , les x — a ,x b , 
x — c., &Ci referont toujours pofitifs ; fi , b , c ^ 
font des nombres négatifs ; que s’ils font imagi- 
naires, le produit de chaque paire d’imaginaires fera 
aiiffi toujours pofitif , & il en fera de même de 
chaque paire de racines égales quel que foit leur 
ligne : donc li on divife une équation propofée en 
deux fafteurs A ^ B ^ dont l’un A renferme les 
racines imaginaires négatives, ou enfin les paires 
des^ radnes égales , & ^ les racines réelles pofitives 
& mégales , la valeur du fadeur A ne changera 
point de figne , quelque nombre pofitif qu’on mette 
a la place de a: , & refiera toujours pofitive. Je 
iconfidere donc, feulement le fadeur B , que je 
fuppofe égal à 7 ^'. . . les A, P, c\ 
étant des nombres pofitifs , & zz' < h < c < ' , &c. 
dans ce cas je mets pour x un nombre plus petit 
que a ' , tous les fadeurs feront négatifs ; & fi je 
mets pour x un nombre ^ A Sc bp ils feront 
encore tous négatifs hors le fadeur a: — A, qui fera 
pofitif; donc le produit B changera de figne ; il en 
changera encore lorfque l’on mettra pour x un 
nombre > b <l c, 8c encore lorfqu’on mettra pour 
.r un nombre > e < ô , 8c ainfi de fuite , en forte 
que fi on met fucceffivement pour a: les nombres 
O , A , 2 A , 3 A , é-c , 011 la différence a foit plus 
petite que la plus petite différence entre deux 
racines confécutives , il y aura autant de racines 
reelles pofitives inégalés que la valeur de la quan- 
tité égalée à zéro changera de figne ; il faut donc 
connoître maintenant , i°. un nombre tel qu’en 
mettant pour x un nombre quelconque plus grand, 
change point de figne j afin de ne pas être 
oblige d’étendre à l’infini la fubfiituîion des , o, a , 
i A , 3 A , &c. pour X ; 2 °. un nombre A , tel qu’il 
îoit plus petit que la plus petite différence entre 
deux racines confecutives , ou en général entre 
deux racines pour le premier point , comme cette 
valeur de doit rendre B pofitif, le figne du pre- 
mier terme 1 étant au/fi , il efi clair que prenant 
un nombre égal au coefficient le plus grand des 
termes négatifs augmenté de runité , B ne devien- 
dra pas négatif, mettant pour a: le nombre ou 
un nombre plus grand ; car prenant le cas le plus 
défavorable , celui où l’on auroit xxzax b x . 
r b ^ q étant pofitifs , on trouvera que 
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^ P •f' ^ ■i‘P-p-hi . . . ^ ap 
h + 1 ... puifqué a, e 5 par l’hypothefe 
ne peuvent etre plus grands que p. 
Pour le fécond point, on prendra d’abord l’équa- 
tion entre es différences des radnes de la propofée 
iX pour cela on remarquera que foit n cette diffé- 
rence , & mettant au lieu de x , x a dans la 
propolee^, on aufa une équation qui devra avoir 
lieu en meme tems que la propofée , & diminuant iv, 
dierchée. Cette équation ne contiendra que des 
puiffances paires de u , parce que foient a 8c b 
deux racines de la propofée , il efi clair que l’équa-’ 
tion pour les différences aura également pdur 
racin es a b 8c b ~ a , 8c que par conféquent 
f~a~b\fera un des divifeurs. De plus, elle 
lera autant de fois divifible par qu’ü y aura 
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dé racines égales entr’eîles. Puis donc que nou^ 
cherchons un nombre plus petit que cette différence 
entre dés racines inégales , mettant au Heu de la 
quantité , ôn aura une équation en ^ , & tonnoiff 
fant une valeur plus grande que la pins grande racine 
po itiye de cette équation, l’unité divifée par la racine 
iera plus petite que la plus 
petite différence entre les racines ; on trouvera 
cette valeur par la meme méthode , que la limite 
des racines pofitives de la propofée trouvée ci- 
deffus. Cela pofe , fi on fübfiituè à la placé de î: 
lés nombres o . A , i a 3 a , . , . a , étant — i- 
jufqu’au nombre -f l , qui furpaffe la plus grande 
racine pofitive, on aura autant de racines pofitives 
qü il y aura de changemens de fignes ; mettant enfuitè 
au heu de x une quantité - x , 8c faifant les mêmes 
.operations , il y aura autant de racines négatives 
inégalés j que de changemens de fignes. Quant aux 
racines égales , foit 0 la propofée , — o 
aura lieu en même tems , s’il y a des racines égales. 
Mais de plus foit -^=:x+a.x+i .x + c &c. 
x' 
■,x-^bé 
^ —f ^‘¥à,x-\-b,,.dx -fiV. 
a; -f c , . . « y P \ x A dx 7 N. Soit 
maintenant Xaufii divifible par x a faut qu’eu, 
rnetfant — a pour dans cette intégrale , elle de- 
v^e zéro , donc A’= o, donc X efi divifible par 
■V -f a 5 donc toute racine commune entre X 8c 
— = o donne une égalité de racines entre celles 
le commun divifeur de X 
^ ~dx ' > contient 8c ne éontienf 
aràèvées à des puiffances 
jnoiridres d’une Sn-té que dans X, d^nrifaTtaS 
le commun divifeur comme la propofée , on trou- 
vera que la propofée a autant de racines réelles 
pofitives ou négatives égales au nombre pair , que 
le commun divifeur a de racines inégales. Enfuitefi 
} appelle commun diififeur, & que j’aie celui de 
autant de racinès égales , trois 
à trois en nombre impair aii-deffus de trois , quq 
le divifeur commun a de racines inégales ; & ainfî 
de iiiite. Soit , par exemple , m le degré de l’équa- 
tion &c n C m^ le nombre des racines inégales ^ 
celui des racines inégales du premier commun, 
! mêmes racines pour le fécond 
Commun divifeur , & ^ pour le troifieme , 8c qu’il 
n y en ait point au-delà , la propofée aura ^ — r -f 
± P — 2 s j r + ^ t... racines réelles 
inégalés , p ^ s égales deux à deux , égales trois à 
rois, & eples quatre à quatre, & fis r racines 
égalés trois a trois auront été déterminées parmi 
es zz racines que la méthode ci-deffus trouve nar 
^ les . parmi celles 
du commun divifeur de X & dX égalé à zéro Le 
nombre de racines imaginaires eft égal au nombre 
total des racines moins celui des réelles , donc ort 
aura lenombre de ces racines., & quant à la diffin- 
&on de celles qui font égales , on les trouvera 
comme Cl - deffus , en connoiffant le nombre de 
racines imaginaires des divifeurs communs, 
^Maintenant fi on veut avoir une valeur àp,pro« 
cbee d une des racines, réelles pofitives mégales 
de la propofee , on prendra une férié ,, o , A , 2 a „ 
3 A , &c. ou A efi à-la-fois plus petit que l’imité , 
^ puis petit quf la plus petite différençe gnîfè 
