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A P P 
deux racmes; on mettra fucceffivement dans la 
propofée pour les difFérens termes de cette fene, 
& l’on observera le point oîi en mettant 1 une apres 
l’autre deux valeurs confecutives , le relultat chan- 
gera de fi^^ne ; alors la plus petite de ces valeurs 
ne différera de la plus petite des racines pofitives 
que d’une quantité moindre que A ; appellant p 
cette valeur, je ferai xz^p , & j’aurai une 
équation en i que je traiterai comme la propofée; 
appellant ^ fa première valeur , j’aurai - 
U 
& une équation en u ; appellant r la première va^-eur 
de n trouvée toujours par la meme méthode , j aurai 
valeur qui approche continuelle- 
P ^ 1" 
ment de la vraie , puifque , par l’hypothefe , r, 
&c. font des quantités plus grandes que l’unite. 
Si A eft plus petit que i , faifant A = — , ^ ^ 
font des entiers > on n’aura qu a mettre , au lieu 
I de le, une autre quantité & on aura pour 1 équa- 
tion en , A = Æ , & par conféquent A fera un entier 
& pourra être fuppofé i , & on aura i°. les quan- 
tités/», Q,r, &c. égales à des nombres entiers, 
ce qui limplifîe la fraélion continue ; 2°. on aura 
une valeur exaâe de la racine toutes les fo^is qu elle 
y en a une rationnelle (voyez la fin de l’article) , 
pourvu que tous les coëfficiens de l’équation en^ Q 
foient entiers , ce qu’il eft toujours poiîible de faire. 
On pourra trouver, par cette méthode , fuccefii- 
vement une valeur approchée de toutes les racines 
pofitives de la propofée ; pour trouver celles de 
ces racines qui pourroient en avoir d’autres égalés , 
appellant o, la propofée , prenant le commun 
divifeur de ^ A, ce commun divifeur contien- 
dra les racines de la propofée , qui en ont d autres 
qui leur font égales , & elles feront toutes inégalés 
entre elles dans ce divifeur. Subflituant donc dans 
ce divifeur 'la même férié o. A, 2 A, &c. ou 
O, 1,2, 3, 4... que dans la propofée , on trouvera 
s’il y a une des racines trouvées par approximation , 
oii font celles qui font aufli racines approchées du 
divifeur , & toutes celles qui font dans le cas indi- 
quen't que , dans la propofée , elles font^ égalés au 
moins deux à deux ; on trouvera de meme celles 
qui font égales trois à trois, en cherchant le commun 
divifeur de A , - ■■ ■ — , — —t** ? & fuite. 
^ dx dx~ 
Après avoir ainfi trouvé toutes les racines pofi- 
tives , faifant x — — x' ^ on aura une équation en x , 
dont on cherchera les racines pofitives ; & les pre- 
nant avec le figne — , on aura les racines négatives 
cherchées. 
Quant aux imaginaires qui font de la plus grande 
importance pour la folution approchée des équa- 
tions différentielles ( voye^ ci - dejfpus , & l article 
ÉQUATION séculaire) , 011 fera y = ^ 
& prenant la partie réelle & la partie imaginaire de 
ce que devient la propofée après cette fubffitution , 
les égalant chacune à zéro, éliminant on parvien- 
dra d’abord à avoir a = -—p- , A ^ B étant des 
£> 
fondions rationnelles & entières de b , de plus on 
aura une équation en b. Cela pofé, il eft clair que 
chaque valeur réelle de b donnera une valeur réelle 
de à moins que A ^ B ,n^ foient nuis en même 
tems que la propofée. Si donc cela n’a point lieu , on 
prendra dans l’équation en b les valeurs approchées 
des racines réelles pofitives à chacune defquelles 
répondra une raçine négative de la même valeur. 
A P P 
A 
on aura a en mettant dans au lieu de b cette 
valeur approchée , & par conféquent on connoitra 
une valeur approchée des deux racines imaginaires 
a b \A — \ ^ a — b \A — Mais fift’équaîion en a 
lieu en même tems que A — o^B — o , on prendra 
le commun divifeur de ces trois équations , enfuiîe 
on divifera par ce commun divifeur l’équation en 
& chaque racine réelle de Inéquation ainfi divifée 
donnera une valeur de b ; enfuite prenant le divi- 
feur commun & une équation du fécond dégré 
trouvée en éliminant & de la forme M Na -p 
jP = o , on obfervera fi le commun divifeur, Af, N 
& P, peuvent être en même tems égaux à zéro. Si 
cela ne peut arriver , on prendra les racines de ce 
commun divifeur à chacune defquelles répondent 
les deux racines de l’équation en ^ ; fi M, N, P , 
peuvent devenir nuis en meme tems que le com- 
mun divifeur , on prendra de nouveau le commun 
divifeur de ces quatre fondions , & une équation 
du troifieme dégré trouvée en éliminant a , & qui 
fera de la forme a? -j- N^ a^ P a Q_ — o ^ & 
on opérera comme ci-deffus , & ainfi de fuite. 
Toutes les fois que , dans la recherche des racines 
approchées , on aura fubftitué dans chaque appro- 
ximation la férié o, i , 2 , 3 . . . . . à la place de la 
racine , on fera fûr de trouver la valeur exaûe 
lorfqu’elle fera rationnelle : en effet , cette valeur 
exaêle eft néceflairement entre p , première va- 
leur trouvée , & /» -p i, entre/»-}- — &/» -f- — — ; 
^ * q q-r~ï 
q étant un entier , entre /» -f — ^ + 
q-i- ï 
r-h I 
& ainfi de fuite. Or foit la quantité plus petite 
n 
que I à ajouter à p pour avoir la vraie valeur , 
q fera égal au quotient de n par m , plus un refte , 
/72 ; de même , r fera égal au quotient de 
m 
w! 
m par n' un refte — - ? étant plus petit que zz', 
donc , en fuivant toujours , on parviendra à un 
refte nul ou égal à -^, & par conféquent' à la 
n 
valeur exaêle. V Fractions continues. 
La méthode , dont je viens de rendre compte , 
eft générale pour toutes les équations numérales , 
&; elle donne pour tous les cas d’une maniéré cer- 
taine une valeur aufti approchée qu’on veut de 
chacune des racines. Elle a de plus l’avantage effen- 
tiel , qu’il eft inutile de connoître d’ailleurs la valeur 
approchée des racines , comme cela étoit néceflaire 
dans la méthode de Newton. 
Méthode d'avoir les valeurs approchées des racines 
d'une équation algébrique déterminée. 
11 faudroit , pour que cette méthode fut générale, 
pouvoir trouver autant d’exprelfions de 1 inconnue 
en fériés convergentes que la propofee a de racines 
Commençons par chercher un moyen général de 
réduire la valeur de en férié : pour cela je remarque 
que quelle que foit une fonêlion de x qui foit égalé ay, 
je puis fuppofer que j’aie l’équationy — x — ^ xj=z o, 
ou X X ; donc fi je cherche k avoir en 
y -f <D la valeur d’une fonâion de x , j’aurai , par 
le théorème de M. d’Alembert, démontré à VarticN 
des S upplémens , 
d-^y . d'-^y 
dy 
Sc par conféquent, 
d^ y 
X -F 
$ a: -f- 
zdyl 
s.dy^ 
x^. 
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