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fâîfànt donc ^ x — ^y B ^ dans îa fécondé for- 
mule , & ordonnant par rapport aux puiffances 
de <^y , il efl aifé de voir que B doit être une 
férié , dont le premier terme léra du fécond dégré, 
égalant à zéro le terme qui , après la fubfhitiition , 
eft de ce degré ; & prenant la valeur qu’il donne 
pour B , j’aurai celle du premier terme de la vraie 
y 
^ y -, je ferai enfuite 
valeur de 5 , elle eft 
y 
dy 
B- 
dy 
^ y C y OU C tü une férié , dont le 
premier terme eft du troifieme dégré ; & continuant 
ainü , je trouverai 
4 » X —^y 4 * 
+ 
i.dy 2.3 dy '^ 
par la même méthode , 
, &C. 
4 ” 
2 3 dy 
+ 
3 
2 . '^.4dy^ 
4 ~ &C. 
2.3 
•^d^y^ 2.3d'$_y^ 
+ h 7^,&C. 
2.3 3 . 4 ^y 2.3 
fubftituant ces valeurs dans l’expreffion de x y 
l’ordonnant par rapport aux puiffances de & 
4 > J , & réduifant chaque rang de termes , j’aurai 
finalement 
^yd'^y d.iy'd'^y d'^y'^d'^v 
^^=^J^4-— 7— 4 
dy ^ dy 2.3 dy 
^ . ferie , dont la loi efl: très-facile à failir. 
Il eft aifé de voir que û ^x contenoit encore y , 
on aura également la valeur de -4^ x en y, quand même 
X contiendroit auffi j' , en obfervant alors dans la 
maniéré de prendre les différences , que -£fil 
y / r , . d^ 
ou 
dy 
d X 
■y font alors égaux à ce que devient 
d X 
. Si , après la différenciation, on metj^ pour 
^ , ou ce qui revient au même différencier en regar- 
dant comme confiantes lesjK qui fe trouvent dans a; 
& O j;:. On voit de-là comment, fi l’on 2L<i>' x,y = 0 , 
on aura ( par un férié ) x en y y & de même en une 
fondion quelconque de x y. Si l’on veut appli- 
quer cette maniéré d’avoir en y la valeur de ,r , lorf- 
qu’on a par équation en x & en j la folution des 
équations déterminées , on obfervera : 1°. que fi on 
l’applique immédiatement, on n’aura que des expref- 
fions réelles & rationnelles pour la valeur de x ; 
2.°. que pouvant prendre pour^ telle quantité qu’on 
voudra , on aura une infinité de valeurs de • 
3°. que parmi toutes ces valeurs, il n’y en aura de 
réellement différentes qu’autant que la propofée 
peut avoir de racines : 4°. qu’il y en aura un nom- 
bre de convergentes différentes entre elles , égal au 
nombre des racines réelles : 5°. que fi on prend un 
nombre 7/2 moindre que n dégré de l’équation, qu’on 
faffe a t = o , & qu’on fubfiitue au lieu de ;t: 
fa valeur en 4- , on aura une nouvelle équation , d’oîi 
tirant les valeurs 4- en férié , on aura autant de 
valeurs imaginaires de chaque férié que l’équa- 
^ fît 
tion ^ 4- 1 a de racines imaginaires , & la pro- 
pofée aura autant des racines imaginaires , fi une 
de ces fériés efi convergente. 
Ces principes pofés , on voit qu’il s’agit d’abord 
de^favoir difiinguer entre une infinité de fériés celles 
qu’on peut prendre par des racines différentes ; foit 
donc la propofée a-\- b x~{-c x^ 
il efi aifé de voir que fi on fait a =20, il y a une 
racine qui s’évanouira , deux qui s’évanouiront , fi 
on fait à-la- fois a 6 cbz=o^ trois, fi on fait a, h y r, = o, 
êc ainfi de fuite. ( Par conféquent fi on fait d’abord 
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^ == Ô, Oti aura cx^— — — x =0, Féqua^ 
tion aura deux racines égales à zéro , en faîfant 
= O , & par conféquent deux racines infiniment 
petites ôc égales aux deux racines de a c x^ — 0 i 
lorfque a efi infiniment petit. Il efi aifé en effet de 
voir que a étant infiniment petit , & b manquant , la 
propofee a deux racines infiniment petites , que 
dans le^ cas de deux racines infiniment petites c fe 
réduit a etre le produit de toutes les autres racines , 
puiique les auties termes qui entrent dans r, difpa-» 
roiffent devant celui-là ; & qu’ainfi ^ , qui eft le 
produit de toutes les racines, étant divifé par 
devient le produit des deux racines infiniment peti- 
tes , qui font par conféquent égales aux racines de 
réquation a 4- c = o , de même on fait b c 
égaux à zéro , & a infiniment petit , trois des racines 
de l’équation deviendront égales à celles de l’équa- 
tion 2 z4-^^.^^ = o, & ainfi de fuite. 
Si donc on a différentes fériés qui repréfentent 
la valeur de x , on pourra difiinguer par-là celles 
qui font réellement différentes , c, 2/, qui appar- 
tiennent à des racines différentes. 
La méthode propofée ci-deffus donne une valeur* 
de X en quantité connue toutes les fois que efi 
donne par une équation déterminée , foit qu’il y 
ait , foit qu’il n’y ait pas de tranfcendantes. Mais 
on^ n efi pas fur d’avoir cette valeur par une férié 
qui foit toujours convergente. C’efi par cette 
raifon que je vais indiquer ici une méthode élé- 
mentaire & très-fimple , par laquelle on parvien- 
dra toujours à toutes les valeurs approchées de x. 
1°. Si la fonélion o a plufieurs valeurs , on 
les prendra fuccefiivement ; ainfi AT fera confidéré 
dans la fuite comme une fonélion qui n’a qu’une 
valeur , repondante à chaque valeur de x. 
2°. On cherchera d’abord les valeurs de x pofi- 
tiyes qui tendent AT = o , & on commencera par 
déterminer pour x une quantité telle qu’en l’au- 
gmentant X ne puiffe plus changer de figne , ni 
devenir zéro , ce qui fera toujours poflible toutes 
les fois que X= o n’aura pas une infinité de racines. 
Ce dernier cas fe rappelleroit aux autres en met- 
tant au lieu de = fin. x par exemple , en effet 
alors au lieu de x , on auroit a angle dont le 
finus efi X y Sc au heu d’un feul X à examiner , 
on en mettroit une infinité répondans à angle dont 
le finus eû X m U y m étant un entier quel- 
conque. 
3°, Connoiffant les limites de x y on prendra 
“h ~ 4 ^ 0^^ ftihfiituera dans la propofée , & on 
aura X' = o , alors repréfentera les différences 
qu’il y a entre x&ch valeur de l’équation o. 
4°. Subfiituant dans Ar=o les valeurs fuccefiîves 
en nombre entier de x , depuis x o jufqu’à fa 
limite , & cherchant pour chacune les hmites de y y 
j’aurai y =■ <^ A , A étant cette limite, donc il n’y 
a point de racines de AT= o entre cette valeur do a; 
A 
5°. Prenant enfuite toutes les valeurs a; 4. 
entre o 6c la limite de x , on fera la même opéra- 
tion , & par ce moyen on parviendra à approcher 
des valeurs de a;. 
6 . Pour trouver les valeurs négatives , on fera 
dans la propofée x — x y & on cherchera les 
valeurs pofitives de a;. 
7*^. Pour trouver s’il y a des racines égales , on 
égalera à zéro la quantité , enfuite on cher- 
chera les peines pofitives ou négatives , & on verra 
fi les racines ne different de celles de JT e u que 
