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A P P 
d’une petite quantité , & fi on répété les approxi- 
mations J cette différence 'diminue continuellement. 
La méthode de M. de la Grange fournit un moyen 
d’avoir en férié la valeur d’une quantité quelconque 
y en X , lorfque y eft donné par une équation en x 
& y : fi cette équation eil différentielle , on par- 
viendra également à avoir une telle férié : foit en 
effet une équation différentielle enj & x , on fera 
enforte qu’elle ne contienne plus que d x ; cela 
pofé , fi l’équation mife fous une forme rationnelle 
& entière , ayant tous fes rangs , & la plus haute 
différence fe trouvant dans le premier , elle n’a 
t X 
point de terme confiant , on fera y ■= A c fi- 
zf+x 
t'x 
z+x 
S /’‘ + Ce‘P+ J'e’-*-' + B'e e + O, "y &c. 
& 1°. on aura £ 7 , &c. arbitraires , &fi n eik 
l’ordre de l’équation , /fera donné par une équation 
du dégré n , /' par la même équation &c. enforte 
que /, f f font les différentes racines de cette 
équation: 2°. la fubfiitution àe A' c B' ^ 
dans le premier rang donnera des termes égaux 
chacun à chacun à ceux que A e B c &c. pro- 
duit dans le fécond ; donc A\ B' &c. feront donnés 
en A , B , ainfi de fuite : 3“. fi l’équation en /a 
deux racines égales , foit / cette racine , il faudra 
faire A x e‘^ + B &c. en effet fi P y -f- 
Q V + ^ "" y Scc. efi le premier rang de la 
propofée, on aura 5 fi- (2/””*+^/" ^&^c.)-j-o 
+e+«p/““'+«+«-Q/“"'&c.)=o 
donc on aura à-la-fois , 
pf’ + e/”-' + &c. =0, 
+ ( 2 /”“ 
Ce qui a lieu toutes les fois que l’équation en/ a deux 
racines égales. On prouvera de même que fi cette 
équation en a trois, il faudra faïrey =:A x- fi- -P x fi- G, 
é ^ * -f e ‘ , &c. & ainfi de fuite, pour quatre, cinq, 
&c. racines égales: 4®. au lieu de^*^ B' ^ -f- 
C e &c. on volt que , dans le cas de deux racines 
égales , c’eft A' x^ B' x -f- C f f' x 
D e fi- &c. qu’il faut prendre , & ainfi de fuite. 
Si la propofée avoit eu un terme confiant , & 
qu’elle eût contenu j au premier rang , on auroit 
fait 
y:xzA-{-Be -{-Ce 5cc. A e B e ’ 
& fl J avoit été dans les rang fupérieurs , on auroit 
trouvé les B ^ C ^ &c. toujours arbitraires , & 5 par 
une équation d’un dégré dépendant du rang de la 
valeur hypothétique , oii l’on fe fera arrêté : fi y 
manque dans les rangs fupérieurs de la propofée , 
alors / eft encore ici donnée par une équation du 
dégré n. 
Si la propofée ne contient pas j ati premier rang , 
& qu’elle ait un terme confiant , il faudra prendre 
y~Ax-\- B e^^ Ge'^^&c. A’ x^ fi- P'x 
& procéder , comme ci - deffus ; car le cas où 
il y a un terme confiant fe peut rappeller aifé- 
ment à celui où il manque , il fuftit de différencier 
réquation propofée. 
Cette méthode d’avoir en férié la valeur de y , 
lorfqu’on a une équation différentielle en y & en x, 
s’applique au cas , ou ayant m équations en m-\- i 
variables \^^u,y x, on cherche à exprimer 
l^^u^y par une fondion en x. 
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On peut même l’étendre aux équations aux diffé^ 
rences finies , où a ^ eft fuppofé confiant , la folu- 
tion fera la même abfolument,à cela près que les arbi- 
traires A3 B 3 C 3 &c. feront dans ce cas égales à des 
fondions de e"** ; / * = o, & ces fondions étant 
telles qu’elle ne changent pas de valeur , lorfque x 
devient x fi- A x. 
Cette même méthode s’appliquera encore aux 
équations aux différences partielles ; foit en effet 
une de ces équations qui ne contienne que ^3 &C fes 
différences fans contenir de x dey , ni de ternie con- 
fiant , fl je fais 1 = A B e ' ^ ^ &c. fi- 
A' 
■j- BU ^ fi- &c. j’aurai , les 
A3 B 3 arbitraires , une équation enf&ig, enforte 
qùe /fera tout ce qu’on voudra , & g donné en/, & 
que le terme A e &c. fera la fomme de tous 
ces termes dont le nombre efi infini. 
S’il y a un terme confiant , & que { foit dans le 
premier rang , on fera ^ — A B &c. & 
alors félon le rang où l’on s’arrêtera , l’équation en 
f&c g fera d’un ordre plus élevé. 
Le moyen pour déterminer les arbitraires , fera 
le même que dans les. équations linéaires. ( Voye^ 
Linéaire,) 
La méthode expofée jufqu’ici fert à donner y 
en X , lorfqu’on fait que y eft très-petit , & qu’on 
n’en peut négliger une certaine puiffance. V^oici une 
autre méthode qui peut fervir à avoir y en x 
lorfque x efi très-petit, lorfque l’équation efi du 
premier ordre. 
Elle efi fondée fur cette remarque que fi A dx-^ 
Bdy eft une équation qui a tous fes termes, A^ B 
f . ~ A 
étant rationnels , & que , ces fondions étant du 
B 
dégré m , rendent différentielle exade une équation 
peu différente de A d x B dy = o , on pourra , 
^ pour fadeurs de ffx -{-Bdy, 
en prenant _/_-e Z 
faire Z Z' d’un dégré tel que négligeant les fécon- 
dés dimcnfions des coëfficiens de Z & Z' & des 
petits coëfficiens de Adx-\-Bdy 3 dans la condi- 
tion d’intégrabilité , le nombre des coëfficiens indé- 
terminés furpaffe celui des équations de comparai- 
fon, donc on aura en férié l’intégrale de A dx-\- 
B dy 3 toutes les fois que l’on aura celle d’une 
équation peu différente : donc on l’aura toutes les 
fois que l’on pourra regarder x comme une quan- 
tité très-petite. 
On peut étendre cette méthode aux ordres plus 
élevés. 
Après avoir donné le moyen d’avoir y en x par 
une férié lorfque y efi donné par une équation diffé- 
rentielle , fuppofons que y foit très-petit , qu’on 
puiffe en négliger une certaine puiffance , & voyons 
ce qui doit arriver. 
1°. Si la valeur dey efi de la forme Ae fi- 
"" -{-A'e^^’^J^BU^^J"' &c. 
^ que tous les / foient réels & négatifs , ou bien 
ïï^aginaires fans partie réelle , ou bieii imaginaires 
avec une partie réelle , niais négative , il arrivera 
que ,.'clans le cas des racines purement imaginaires , 
la valeur de y fera donnée en finus & cofinus de 
multiples de x , & pourra être toujours très-petite, 
& la férié convergente lorfque celle des A, A' 3 &e, 
le fera dans des/ négatifs , ou partie négatifs , & par- 
tie imaginaires ; la même chofe aura lieu , fi l’on ne 
confidere que les valeurs de x depuis o jufqu’à 00 , 
Sc qu’on fuppofe x affez grand pour que e > i, 
fi même dans le cas tous les finus & cofinus font 
multipliés par e , il y aura un point où la férié fera 
convergente , 
