À E 1 
Le petit axe D E , qui eft perpéndiculaire à ï"ake 
iAB , eft à cet axe cômme le ftnus de la hauteur 
du pôle eft au rayon. Car foit (^planche I. fig. 4.) 
K M le diamètre de l’horizon ; P &c p les pôles j 
le diamètre de l’équateur ; MPOKIq méridien 
du lieu. La hauteur du pôle eÛPM, dont le finus, 
^PR l’angle jPC O eft droit ; donc l’angle MC 0 
“eft le complément de la hauteur du pôle ; & 5’C, 
«oftnus de ce complément , eft égale k P R; mais 
SC eft la projeftion orthographique de oC; & 
eft celle de oO ; donc , &c„ 
C’eft la même chofe d’un parallèle dont le dia- 
mètre T t rencontre en u celui de l’horizon. La 
projeftion orthographique àeueeûux ; celle de « T 
eft celle de Tt eft Xx. Or tu k ux , comme 
T U k ux , comme Tt kXx , comme oC k C S , 
comme le rayon au finus de la hauteur du pôle. 
Si du zénith Z onbaifife une perpendiculaire fur l’ho- 
rizon, elle tombe en C , qui eft le centre de l’ellipfe 
{^figure 2. ) ; lorfque l’ellipfe repréfente l’équateur, 
& qui eft éloigné du centre de l’ellipfe lorfqu’elle 
repréfente un parallèle ; car foit ( figure 4. ) ^ le 
centre du parallèle Tz , ou le point où le diamètre 
du parallèle rencontre l’axe de la fphere. Tirez du 
point F(\xr KM la perpendiculaire FY ; le point Y 
coupe en deux parties égales la Xx projeftion du 
diamètre du parallèle , & en deux parties inégales la 
5 s projeftion du diamètre de l’équateur. Si donc T t 
eft le diamètre d’un tropique, & fi l’ellipfe àt\z figure 2 
repréfente l’équateur , le point T de la figure 4 , 
répond au point G o\x g de la figure 2 , & le point 
C de la figure 4, répond au point C de \d. figure 2. 
Mais fi Tellipfe de la figure 2 repréfente un tropi- 
que , c’eft le point C de la figure 4 , qui répond au 
point (r ou ^ de la figure 2 ; & le point Y de la 
figure 4 , répond au point C de la figure fieconde. 
La droite C F (^figure 4.') eft le finus de la décli- 
naifon du parallèle T t ; èc /^Ceft à CF, comme 
PC k CR, comme le rayon au eofinus de la hauteur 
du pôle. 
Il eft évident qu’afin que le cadran foit jufte , 
l’ellipfe (^figure 2.) doit repréfenter chaque jour le 
parallèle que le foleil décrit. C’eft pourquoi les points 
G, / , 2 , 3 , 4 , 5 , g-, & les autres points intermé- 
diaires, font tOLir-à-tour la projeftion du zénith , & 
repréfente le centre de la fphere. Le point H, eft 
la projeftion du lieu du foleil pour le jour & l’heure 
dont il s’agit ; donc G H eû la projeélion de l’arc 
du vertical qui pafte par le centre du foleil à cette 
heure là , & cet arc eft compris entre le zénith & 
le centre du foleil; c’eft pourquoi G H eû le finus 
de la diftance du foleil au zénith ; & par conféquent 
le eofinus de la hauteur du foleil qui eft déterminée 
par le refte du même vertical. 
Mais tout finus devient un maximum , lorfque 
l’arc auquel il répond eft de 90 dégrés ; & le finus 
même égal au rayon ; donc 6^ ^devient un maximum 
lorfque le foleil eft à l’horizon , parce qu’alors la 
diftance du foleil au zénith eft de 90 dégrés ; foit 
G L owG l eofinus devenu un maximum & égal au 
rayon : il eft facile de voir que les normales font 
les plus grandes & les plus petites droites qu’on 
puiffe tirer d’un point G donné dans le petit axe , 
à la circonférence de l’ellipfe. 
Il y a quatre de ces normales GD ,, GE , GL, 
6 G l : les deux premiers font manifeftement des 
mimina ; Sc les deux derniers des maxima. Il en ré- 
fulte que û G L G l font normales , elles répon- 
dent à 90 dégrés de diftance du foleil au zénith , 
c’eft-à-dire au foleil levant ou couchant. 
Ainfi dans cette fuppofition G L eft le rayon de 
la fphere : nous avons vu que AC ou. CB çû le co- 
finus de la déclinaifon du parallèle , auquel appar- 
tient le point G; donc CîrL eft le rayon auquel appar- 
A Z ï 
tient ài , cbniidéréé comme eofinus de îa décfe 
naifondu foleil. Effetlivement lorfque cet aftre n’à 
point de déclinaifon , ou eft dans l’équateur, le point 
G tombe en C , ôc la normale G L en CA, qui eft 
alors le rayon de la fphere , comme nous favons 
d’ailleurs qu’il doit l’être. Au refte , nous avons déjà 
vu que G H eft le eofinus dé la hauteur du foleil 
pour le rayon G L. 
De plus nous avons fait FC k CG comme lë 
rayon à la tangente de la déclinaifon ; ce qui eft jufte , 
pa^e que C G àe lu figure 2 , eft la même chofe que 
CYàe h figure g.; ôt nous avons vu que TC (ou 
CG de Id. figure 2.) au finus de la déclinaifon (Cl^ 
figure 4.), comme le eofinus de la hauteur du pôle 
au rayon , comme CF {figure 2.) à FD ou CA i 
mais C A eft le eofinus de la déclinaifon pour le 
rayon C L ^ donc C G au finus de la déclinaifon^ 
coihme C T au eofinus de la déclinaifon ; & in ver- 
tendo & alternando , F CkC G comme le eofinus eft 
au finus de la déclinaifon, comme le rayon à la tan- 
gente de la déclinaifon. 
Pour tirer du point G une normale à l’ellipfe du 
point C fur DF , tirez la perpendiculaire CN fur 
CG du point G vers E ; prenez C M , quatrième 
proportionnelle après F N ; N D G C p^r Mg 
élevez fur D E une perpendiculaire qui rencontre 
l’ellipfe en L. joignez U G L : je dis qu’elle eft nor- 
male à l’ellipfe. Par L tirez fur A B Isi perpendi- 
culaire L K. On a fait comme F N k N D , ainfi 
GCk CM ou LA, c’eft- à-dlre Clk IK ; mais 
comme F N k N D , ainfi le quarré de FC au quarré 
àe C D ; donc comme le quarré de FC au quarré 
àe C D , ainfi Cl à / A , & compomndo , le quarré 
àe A C ou FD au quarré de comme l’afifciffe 
CKkKl, qui par conféquent eft la fous-perpem 
diculaire. 
Il eft manifefte que la L M prolongée jufqu’à ce 
qu’elle rencontre l'ellipfe en l , donne la pofition 
de l’autre normale l G , qui eft égale a\a G L, & 
qui fait l’angle LGE égal à l’angle LG E. 
Je dis à préfent que le cercle qui pafte par les 
points G , F, L, paftTe aufti par les points/’&t/; car 
plions l’ellipfe fuivant l’axe DE, la droite CA tom- 
bera fur la C B , à caufe des angles droits DCA, 
DCB ;le point A tombera en B , parce que la CA 
eft égale à la C’A; le point A tombera en/, parce 
que la C A eft égale à la C f ; la droite G L tom- 
bera fur la fr / , parce que les angles E G L ; EGl 
font égaux ; & le point L tombera en l, parce que 
les G L ; G l font égales. 
Il s’enfuit que le centre du cercle L FG fl, eft 
fur r axe G E , prolongée s’il eft nécelTaire , & que 
par conféquent , pour trouver le centre & le rayon 
de ce cercle , il ne s’agit que d’élever fur GF une 
perpendiculaire qui la coupe en deux parties égales. 
Au contraire fi par les trois points A, G , fi, on 
fait paftfer un cercle qui rencontre en L la circonfé- 
rence de l’ellipfe ; la droite G L eû normale. Joignez- 
les FL; Lf, & par L , tirez à l’ellipfe la tangente 
OLP. 
Puifque la corde AC? eft égale à la corde G fi, 
l’angle F L G eû égal à l’angle G L fi; mais par la 
propriété de l’ellipfe , l’angle FL O eft égal à l’angle 
f L P : donc l’angle G LO eû égal à l’angle G LF ; 
chacun de ces angles eft droit , S>cla GL eft nor- 
male. 
On peut donc trouver les points L^l , par le 
moyen des points G, F, fi; & au contraire on peut 
trouver le point G , par le moyen des points L, F, fi. 
Dans le premier cas on détermine la longueur du 
jour par la déclinaifon ; & dans le fécond on 
détermine la déclinaifon par la longueur du jour. 
Au furplus tirant du point Af fur le grand axe AB, 
la perpendiculaire N Q ; la partie C Q eft la 
I projeélion 
