( 262 ) 
In het geval der circulaire kubische kromme van het eerste ge- 
slacht, die we in het volgende door K 3 voorstellen, snijden de twee 
viertallen van raaklijnen door de onbestaanbare cirkelpunten co l en w 2 
elkaar in de zestien enkelvoudige brandpunten der kromme. Wijl 
de raaklijnen a l? fa cj, d x uit toy één aan één de toegevoegd onbe- 
staanbare lijnen zijn van de raaklijnen a 2 , fa c 2 , d 2 uit « 2 , zijn er 
van deze zestien brandpunten vier bestaanbaar. Zijn fa, a 2 ), (fa fa, 
fa, cj, dj paren van toegevoegd onbestaanbare lijnen, dan zijn 
haar snijpunten A, B, C, D de bestaanbare brandpunten. De twaalf 
onbestaanbare brandpunten zijn de zes paren van toegevoegd onbe- 
staanbare punten [fa, fa, fa, fa], enz., de zoogenaamde antipun- 
ten van de zes paren AB , enz. Yan deze liggen bijv. de punten 
(a l5 fa = Ai en fa, fa = B a op de. lijn, die AB rechthoekig mid- 
dendoordeelt, op een afstand van het midden M a ,b van AB , waar- 
— 2 
van het vierkant door — AM a , & voorgesteld wordt. 
2. We bewijzen thans de volgende stelling, die echter (vergelijk 
in Cayley’s verhandeling „On polyzomal curves, etc.”, Collected 
Math. Papers , deel 6, art. 72 — 77) slechts ten deele nieuw is: 
I. Er zijn twee soorten van krommen K a . Bij de krommen van 
de eerste soort liggen de vier bestaanbare brandpunten op een cirkel. 
Bij de krommen van de tweede soort is elk der bestaanbare brandpunten 
gelegen op een der drie cirkels van Apollomus behoorende bij den 
driehoek met de overige bestaanbare brandpunten tot hoekpunten. 
De dubbel verhoudingen fa, fa c x , dj en fa, fa c 2 , dj zijn in het 
algemeen toegevoegd onbestaanbaar; ze kunnen echter ook bestaan- 
baar zijn en zijn dan gelijk. Dus is voor en w 2 op twee wijzen 
aan de stelling van Salmon te voldoen. 
«). De dubbelverhouding (aj, fa c lt dj is bestaanbaar en dus 
gelijk aan fa, & 2 c 2 , dj. De punten A, B, C, D liggen dan opeen 
kegelsnee door oj 1 en « 2 , dus op een cirkel. Dit gebeurt bij de 
krommen A 3 van de eerste soort. 
ft). De dubbelverhouding ( a lt fa fa dj is onbestaanbaar en dus 
ongelijk aan fa, fa c 2 , fa, doch gelijk aan een der vijf andere dub- 
belverhoudingen, die door elementenomwisseling uit fa, fa c 2 , dj 
kunnen ontstaan. Ter laatster instantie voert dit altijd tot de uit- 
komst, dat tusschen een der zes dubbelverhoudingen p + iq van 
a lt bi, fa d 1 en de overeenkomstige dubbelverhouding p — iq der vier 
toegevoegde lijnen de betrekking {p-\-iq){p — iq) — 1 of/> 3 + ? 3 — 1 
bestaat. 
Zijn nu fa, yj , fa, yj , fa, yj , fa, y 4 ) de coördinaten der be- 
staanbare brandpunten in de hiermee overeenkomende volgorde, 
dan is 
