( 265 ) 
voldaan is, dan zijn de twee bestaanbare cirkels gemakkelijk aan te 
wijzen. De eene cirkel (P) door A } B heeft zijn middelpunt P op 
CD, de andere cirkel (Q) door C, D heeft zijn middelpunt Q op AB. 
Werkelijk is 
PC d = PI)] = PM~ c . d — CM c .d — PC. PD = PA — PB\ 
QA b = QbI = QM a . b — AM a d) — QA . QB =~QC= QD . 
De bestaanbare verbindingslijn van de onbestaanbare middelpunten 
der beide andere cirkels is de machtlijn der cirkels (P) en (Q). 
4. Met Schroeter ( Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung, 
blz. 104) bewijst men langs eenvoudigen meetkundigen weg, dat de 
kromme K 3 door de middelpunten O, P, Q , R der vier brandpunten 
bevattende cirkels gaat en in deze punten door lijnen evenwijdig 
aan de bestaanbare asymptoot wordt aangeraakt. Hieruit volgt dan, 
dat door het bestaanbare oneindig ver verwijderde punt der kromme 
vier of twee bestaanbare raaklijnen gaan, naarmate men met een 
K 3 van de eerste of tweede soort te doen heeft. Dus vinden we 
(Schroeteb, t. a. p. blz. 136) de, naar wij meenen, nieuwe stelling : 
II. De kromme van de eerste soort bestaat uit twee takken , 
een even tak (ovaal) en een oneven tak (slanglijn) ; de kromme K 3 
van de tweede soort heeft slechts een oneven tak (slanglijn). 
Uit de eigenschap, dat O, P, Q, R raakpunten zijn van door een 
punt der kromme gaande elders rakende lijnen en deze punten 
dus een zelfde punt der kromme tot tangentiaalpunt hebben, volgt 
verder, dat K s ook gaat door de drie diagonaalpunten S, P, U 
(tig. 1) van den volledigen vierhoek OPQR. Op hun beurt hebben 
deze punten S, T , ü en het derde snijpunt V van K 3 met de lijn 
in het oneindige dan weer een gemeenschappelijk tangentiaalpunt W. 
Beschouwen we nu alle krommen K 3 , wier zestien brandpunten, 
zonder juist met A, B, C, D enz. samen te vallen, tot dezelfde vier 
co-orthogonale cirkels (O), (Py, (Q), (P) voeren, dan blijkt onmid- 
dellijk, dat deze een bundel vormen, waarvan O, P, Q, R , S, T, U 
en de beide punten en « 2 de basispunten zijn. Werkelijk zijn er 
— en dit is zeer merkwaardig — zes in een cirkel en een rechte lijn 
ontaarde krommen K 3 aan te wijzen, die deze negen punten bevat- 
ten; elk van deze bestaat uit een zijde van den volledigen vierhoek 
OPQR en den cirkel door de zes niet op deze lijn gelegen basis- 
punten. Yan den bedoelden bundel, die door -f- = 0 mag 
worden voorgesteld, zijn dus de twaalf dubbelpunten onmiddellijk 
bekend. 'Wijl er in stede van twaalf krommen met één dubbelpunt 
