( 266 ) 
zes krommen met twee dubbelpunten in voorkomen, wordt de ver- 
gelijking van den twaalfden graad in A, die de krommen met een 
dubbelpunt kenmerkt, door het nulstellen van het vierkant van een 
zesdemachtsvorm verkregen. 
Kernen we behalve de co-orthogonale cirkels van den bundel op 
een van deze bijv. (O) een der brandpunten bijv. A willekeurig aan, 
dan zijn de overige vijftien brandpunten mede bepaald; B , C, D 
zijn dan de tweede snijpunten van ( O ) met de lijnen, die A met 
P, P, Q verbinden, en uit deze bestaanbare brandpunten volgen de 
overigen. Nu komt het aannemen van A tot brandpunt overeen 
met het aannemen van Aoj } en Aca 3 tot in van co 1 en co 2 verschil- 
lende punten rakende lijnen. Wijl de kromme uit den bundel, die 
Aa x in een van verschillend punt raakt, dit Aco 2 in een van co 2 
verschillend punt doet, staat het aannemen van het brandpunt A 
dus gelijk met het aahnemen van een lijn a door ta l7 die de kromme 
in een van dit basispunt verschillend punt aanraakt. Nu bepaalt 
de bundel van krommen op deze lijn a een involutie van punten- 
paren, die, zooals men weet, twee dubbelpunten heeft. Anders 
gezegd : 
III. Er zijn twee krommen K‘\ die vier in overeenstemming met 
de eerste stelling willekeurig aangenomen 'punten A, P, O, D tot be- 
staanbare brandpunten hebben. 
Laat men in verband met deze bekende uitkomst in den boven 
gevonden bundel die krommen bij elkaar behooren, welke dezelfde 
brandpunten hebben, dan worden de krommen van dezen bundel 
involutorisch gepaard. Wat zijn de dubbelelementen van deze krom- 
menin volutie? Wijst men een kromme uit den bundel aan door haar 
derde snijpunt I 7 met de lijn in het oneindige, dat, zooals we 
zagen, het tangentiaalpunt van O, P, Q, R is, dan blijkt aanstonds, 
dat men de dubbelelementen verkrijgt door dit punt V met to l of 
te laten samenvallen. In het eerste geval zijn O, to r P, Q, 
R de vier lijnen a en (o 2 S, co 2 T , oi 2 U, co z oj y — t^ de vier lijnen 
in het tweede geval zijn eo-^S, T, U. (o ï cj z = I cc de vier 
lijnen a en O, eo 2 P, eo 2 Q, m 2 R de vier lijnen b. In elk der beide 
gevallen vindt men slechts één kromme A 3 , omdat elk der lijnen a 
en b door een tweede basispunt gaat en er slechts één kromme te 
vinden is, die in een der negen basispunten een bepaalde lijn aan- 
raakt. 
Natuurlijk vormen de paren van raaklijnen in een der basispunten 
bijv. O aan de bij elkaar behoorende krommen van den involutorisch 
gepaarden bundel een straleninvolutie, die met de krommenin volutie 
projectief is. Derhalve zijn de naar de punten en co. 2 gerichte 
