( 267 ) 
raaklijnen Ooi^ en. Ooi z van de dubbelelementen der krommeninvolutie 
de dubbelstralen der straleninvolutie van de raaklijnen. 
We vinden dus de bekende uitkomst: 
IY. Twee confocale krommen K 3 snijden elkaar loodrecht ; haar 
bestaanbare asymptoten staan loodrecht op elkaar. 
Het laatste volgt hieruit, dat de loodrecht op elkaar staande raak- 
lijnen in O evenwijdig zijn aan de bestaanbare asymptoten. 
Bij deze laatste beschouwingen is fig. 1 op den voorgrond getre- 
den. Toch gelden ze ook voor krommen van de tweede soort. In 
plaats van zeven der negen basispunten van den bundel zijn er 
dan slechts drie bestaanbaar nl. P, Q (fig. 2) en het snijpunt van 
de lijn PQ met de machtlijn der cirkels (P) en (Q). 
We kunnen ons ook als volgt uitdrukken : 
Y. Tivee confocale krommen K ' J van de eerste soort snijden elkaar 
in zeven punten loodrecht ; van deze zeven punten liggen er zesmaal 
drie op een rechte lijn en de overigen op een cirkel. Door elk van 
vier dezer zeven punten ( O , P, $, B ) gaan drie van deze lijnen en 
drie van deze cirkels ; door elk der drie overigen (S, T, V) gaan 
twee van deze lijnen en vier van deze cirkels. 
Twee confocale krommen K s van de tweede soort snijden elkaar in 
drie punten loodrecht ; deze punten liggen op een rechte lijn. 
Beschouwt men bij de krommen van de eerste soort de in den 
bundel voorkomende ontaardingen, dan blijkt onmiddellijk, dat deze 
in de krommeninvolutie bij elkaar behooren. Immers, de kromme, 
die uit de lijn OP en den cirkel QSET bestaat, snijdt de kromme, 
die uit de lijn QR en den cirkel OTSP bestaat, in de zeven bestaan- 
bare basispunten loodrecht, enz. In het geval van deze twee ont- 
aarde krommen gaan de zijden AB e n CD van den vierhoek der 
bestaanbare brandpunten in de raaklijnen uit P aan cirkel (O) over 
en vormen de raaklijnen in P aan de beide krommen (d. w. z. de 
lijn PO en de loodlijn in P op PO) dus de deellijnen van den hoek 
door de door P gaande zijden van vierhoek ABCD gevormd. Wijl 
dit bij elk dezer drie paren ontaardingen het geval is — en dit is 
duidelijk, als men er zich rekenschap van geeft, dat de vier bestaan- 
bare brandpunten zoowel op een der cirkels ( P ) , (Q) als op cirkel 
(O) kunnen liggen — is dit in het algemeen het geval. We vin- 
den dus : 
YI. In vier snijpunten ( O , P, Q : R ) van twee confocale krom- 
men K 3 van de eerste soort , worden de beide krommen aangeraakt 
door lijnen evenwijdig aan de deellijnen van de diagonaalshoeken van 
den volledigen vierhoek ABCD der bestaanbare brandpunten. 
5. Transformeert men de kromme K 3 door wederkeerige voer- 
* 
