( 268 ) 
stralen uit een niet op haar gelegen punt O', dan gaat ze over in 
een door dit punt gaande bicirculaire kromme van den vierden graad 
en het eerste geslacht, die we door K 4 voorstellen. 
Uit de in den aanhef aangegeven stelling van Salmon volgt dan : 
VIL Door twee willekeurig op K* aangenomen punten O', P' gaan 
vier cirkels , die de kromme elders aanraken ; de dubbelv er houding 
dezer cirkels is van de plaats der punten O', F’ op K 4 ‘ onafhankelijk. 
Laten we O' en P' in een zelfde punt O' samenvallen, dan vin- 
den we: 
VIII. Onder de cirkels , die K 1 in een gegeven punt O' aanraken , 
zijn er vier die dit ook elders doen ; de dubbelverhouding dezer vier 
cirkels is onafhankelijk van de plaats van O' op K l '. 
In het bijzondere geval, dat de lijn O'P der zevende stelling of 
de raaklijn in O' van de achtste door «j gaat, splitsen de vier cirkels 
dier stellingen zich. Elk van deze gaat dan over in O'co } en een lijn 
door «2, die de kromme in een van co 2 verschillend punt aanraakt. 
De dubbelverhouding der vier cirkels is dan die der raaklijnen door 
cn 2 . Zoo blijkt dan, dat de stelling van Hart, die zegt, dat de 
beide viertallen van raaklijnen uit oj 1 en « 3 aan V 4 getrokken 
dezelfde dubbelverhouding hebben, niet op zich zelf staat, doch een 
bijzonder geval is van meer algemeene stellingen. Trouwens de ge- 
lijkheid dier dubbelverhoudingen volgt onmiddellijk uit de gelijkheid 
van de dubbelverhoudingen der viertallen van raaklijnen a en b aan 
K 3 in verband met de bekende eigenschappen van de transformatie 
door weerkeerige voerstralen. 
Uit het bovenstaande volgt verder onmiddellijk, dat de zestien 
brandpunten van X 4 , die de getransformeerden zijn van de zestien 
brandpunten van X 3 , als de snijpunten van twee viertallen van 
lijnen «' en b' door en co 2 in ligging met de brandpunten van 
K 3 overeenkomen, zoodat alles, w r at voor de laatsten gevonden is, 
ook voor de eersten geldt. Hieruit volgt dan weer: 
IX. Er zijn twee soorten van krommen K 4 *. Bij de krommen 
van de eerste soort , die uit twee ovalen bestaan , liggen de vier be- 
staanbare brandpunten op een cirkel. Bij de krommen van de tweede 
soort , die slechts één ovaal vertoonen , is elk der bestaanbare brand- 
punten gelegen op een der drie cirkels van Apollonius behoorende 
bij den driehoek met de drie andere bestaanbare brandpunten tot 
hoekpunten. 
X. De krommen X 4 , waarbij dezelfde vier co-orthogonale cirkels 
behoor en ^ vormen een bundel. De basispunten van dezen bundel zijn 
de punten co 1 en co 2 viermaal geteld en acht punten , die driemaal 
vier aan vier op twee een ontaarde K 4 vormende cirkels liggen. Bij 
