( 100 ) 
Nu is in (14) m 4 — 0, dus u 3 = — («j + m 2 ), zoodat .r 3 = sn ti 3 
: — sn (u x -f- m 2 ). Derhalve levert (22) de bekende formule 
sn (mj 4 - U 2 ) 
sn m 1 cm m 2 dn m 3 -J - sri w 2 cn M i dn Mj 
- 
( 23 ) 
De uitdrukkingen voor cm (mj -f- “2) en dn (m x ~f- m 2 ) kunnen, door 
eenvoudige herleidingen, uit (23) gevonden worden. 
Een symmetrische formule vindt men uit (15) door m 4 = 0 te 
stellen, of, rechtstreeks, door eliminatie van « en uit de drie ver- 
gelijkingen 
ax m 2 ~f~ t>x m — ) ( 1 — y m ) = 0. 
Men verkrijgt zoodoende de volgende uitkomst : 
Voor u x -f- m 3 + m .3 = 0, wordt 
sn Mj 
sn 2 u x 
CM Mj 
dn Mj — 
1 
sn Mg 
sn 2 Mg 
cn Mg 
dn Mg — 
1 
0 
• . (24) 
sn ?/ 3 
sn 2 m 3 
en m 3 
dn m 3 — 
1 
3. Om tot een optellingstheorema voor de elliptische integralen 
der tweede soort te geraken, vermenigvuldig ik (7) met 1 — te 2 x m 2 , 
en stel weer e m = + 1. Dan wordt, als men ter bekorting den 
aanwijzer m laat vervallen, 
1 — k 2 x 2 (x 2 da -f x db + de) (1 — k 2 x 2 ) 
I / „ — — _ ! ! ' ^ _ r 2 5 ^ 
1 — x 2 2 {k 2 — a 2 )x 3 — 3 ab x 2 — (2 ac b 2 k 2 -\- \) x — bc 
Hiervoor kan geschreven worden 
dx \/X — — 
k 2 x da 
2 [k 2 — a 2 ) 
3 ab k 2 da 
4 ( k 2 — a 2 ) 2 
k 2 db 
¥[k 2 — a 2 ) 
V (D 
<p' O) 
. (26) 
if; (x) is eene functie van den tweeden graad, zoodat, volgens het 
bovengenoemde theorema van Euler, (8), 
4 
Z 
V (*m) 
cp\x m ) 
— 0. 
