— 200 — 
V+H— £ = 2(1— p) 
waaraan somtijds de naam van „het theorema van Lhuilier” wordt 
gegeven l ). 
Beginnen we, om deze stelling te bewijzen, met de beschouwing 
van een bol die als model voor ieder enkel samenhangend opper- 
vlak kan worden aangenomen. De zijden der veelhoeken op dezen 
bol kunnen dan, zonder dat dit invloed heeft op de getallen F, H 
of 6r, vervangen worden door bogen van groote cirkels, zoodat het 
oppervlak van den bol nu in een aantal aaneensluitende bolveel- 
hoeken verdeeld is. Nu is de inhoud i n van een bol w-hoek 
O 
in = \_Pn — (n — 2) ji] - — 
4 71 
waarin P n de som der polygoonshoeken en O het oppervlak van 
den geheelen bol voorstelt. Sommeert men deze vergelijking over 
alle veelhoeken, dan ziet men dat 
Zin = O, JE P n = 2 Ti H, 2)! = 2(7, 2 (n — 2) = 2 (G — F) 
waaruit terstond volgt 
F + H — G = 2. 
Gaan we nu dezelfde methode toepassen op het algemeene geval 
waar het oppervlak een p -j- 1 -voudig samenhangend oppervlak is. 
Yoor dit geval nemen we als model een gesloten oppervlak met p 
openingen. De doorsnede met het vlak van teekening denken we 
ons te bestaan uit een cirkel met p gelijke cirkel vormige openingen 
wier middelpunt, in de hoekpunten van een regelmatigen veelhoek 
liggen waarvan het middelpunt met dat van den eersten cirkel samen- 
valt. Voorts stellen we ons voor dat dit oppervlak symmetrisch 
is ten opzichte van het vlak van teekening en ter weerszijde daar- 
van een raakvlak bezit, waarvan de aanrakingskromme bestaat uit 
een cirkelomtrek met p stralen die den om trek in p gelijke deelen 
verdeelen. Het is duidelijk dat deze beperking geen invloed kan 
hebben op het resultaat dat we wenschen te verkrijgen, alsook 
dat hierbij stilzwijgend is aangenomen dat p > 2. Is toch p = 1 
of p = 2 dan kunnen de middelpunten der openingen niet meer 
in de hoekpunten van een regelmatigen veelhoek liggen ; in het 
eerste geval onderstellen we dat het middelpunt van de opening 
met het middelpunt van den eersten cirkél samenvalt, en in het 
l ) Forsyth, Tlieory of Functions p. 325. 
