— 201 — 
tweede dat de beide middelpunten der openingen diametraal tegen- 
over elkander liggen op gelijken afstand van liet middelpunt van 
den eersten cirkel, In het eerste geval bestaat dan de aanrakings- 
kromme van het raakvlak waarvan boven sprake was uit één, in 
het laatste geval uit twee elkaar rakende cirkels binnen een groo- 
teren cirkel gelegen. 
Denken we dit oppervlak op willekeurige wijze in veelhoeken 
verdeeld, dan kunnen we ook hier, evenals bij den bol, zonder de 
drie getallen F, H en G te veranderen, onderstellen dat de grenzen 
of zijden der veelhoeken geodetische lijnen op liet oppervlak zijn. 
Nu geldt, volgens Gauss, voor eiken geodetischen «-hoek 
waarin R en R' de hoofdkromtestralen van het oppervlak zijn, de 
integraal zich uitstrekt over alle elementen d <> van den «-hoek, 
terwijl P„, als vroeger, de som der polygoonshoeken van den «-hoek 
voorstelt. Het eerste lid dezer vergelijking, dat men de totale 
kromming van den veelhoek noemt, is negatief wanneer de beide 
kromtestralen ongelijk teeken bezitten, wanneer dus het eene krom- 
mingsmiddelpunt op de inwendige, het andere op de uitwendige 
normaal ligt. Sommeert men nu de vorige vergelijking voor alle 
veelhoeken, dan verkrijgt men, evenals in het eerste geval, 
= 2 n ( V + H — G) 
waarin nu de integraal zich uitstrekt over het geheele p -f- 1-voudig 
samenhangende oppervlak. Merken we nu op dat Gauss heeft 
do 
aangetoond dat ( , gelijk is aan het oppervlak ds, dat uit een 
bol, die met de eenheid als straal beschreven is, uitgesneden wordt 
door de stralen, die evenwijdig getrokken worden aan de normalen 
op het oppervlak in de punten op den omtrek van het element do. 
We kunnen dus schrijven 
d o 
RR'~ ds 
mits we aan ds of de spherische waarde van do negatieve waarden 
toekennen indien de beide kromtestralen van teeken verschillen. 
Yoor de bepaling van de waarde de integraal over het geheele 
oppervlak, denken we dit verdeeld in p -}- 1 deelen. Het eerste is 
het ringvormige deel, dat ligt buiten de cirkelvormige aanrakings- 
