( 225 ) 
Oneindig is, moet *$ 4 een tweevoudig oneindig aantal kegelsneden 
bevatten. Deze eigenschap is bekend. Zoo als men weet, heeft 
Kummer *) reeds in 1863 opgemerkt, dat elk raakvlak van aS" 4 dit 
oppervlak snijden moet volgens een kromme van den vierden graad 
met vier dubbelpunten, nl. het raakpunt en de snijpunten met de 
drie dubbellijnen. En zulk een kromme is de vereeniging van twee 
kegelsneden, als niet drie der vier dubbelpunten op een rechte lijn 
liggen. 
3. In het vlak, dat de kegelsnee van doorsnee van <S 4 met den 
kegel ayz-fbzx-\-cxy — 0 bevat, ligt nog een tweede kegelsnee 
van aS 4 , waarbij een nieuwe kegel a' y z -f- b' z x -j- c xy = 0 behoort. 
Anders gezegd, de raakvlakken van -S 4 doen tusschen de kegels 
ayz-\-bzx-\-cxyz= 0 een kwadratische verwantschap ontstaan. 
We bewijzen met behulp van de vergelijking van het raakvlak, dat 
de kegels ayz-\-bzx-\-cxy = 0 en a' y z b' z x -\- c x y — 0 onder 
de voorwaarden aa=bb' = cc' bij elkaar behooren. 
4. Een willekeurige lijn door O snijdt aS 4 in een enkel van O 
verschillend punt, dat altijd bestaanbaar is; dus kunnen de coördi- 
naten van dit punt ondubbelzinnig worden uitgedrukt in de rich- 
tingscoëfficiënten der lijn. Stellen wij x=pt, y — qt, z — rt , dan 
volgt uit invoering dezer waarden in de vergelijking van het 
2 k p o t 
oppervlak onmiddellijk t = —— — , waarmee dus de waar- 
in 3 r 2 -j- r 2 p 2 -]- p 2 q 2 
den van x , y, z gevonden zijn. Derhalve wordt de vergelijking van 
het raakvlak 
q r ( — q 2 1 2 -|- r 2 p 2 -f- p 2 q z ) x -j- rp (q° r 2 — r^p 2 j- p 2 q 2 ) y -j- 
— P 9 (7 2 J ’ 2 r 2 p 2 — p 2 q 2 ) z — 2 kp 2 q 2 r 2 . 
Vereenigen we deze vergelijking met die van «S 4 en wel door het 
eerste lid met 2 kxyz : het tweede met de volgens de vergelijking 
van <S 4 daaraan gelijke waarde y 2 z 2 -f- z 2 x 2 -f- x 2 y 2 te vermenig- 
vuldigen, dan vinden we de homogene vergelijking 
J ) Journal ƒ. d. reine und angewandte Math., deel 64, blz 73. Vergelijk hierbij ook 
de aanmerking van Weierstrass blz. 77 bevattende de oorspronkelijke constructie 
van het oppervlak punt voor punt hem door Steiner zonder bewijs meegedeeld, 
verder omtrent dit bewijs de verhandeling van Schröter, blz. 79, die van Cayley, 
blz. 172 en eindelijk vooral die van Cremona, deel 63, blz. 315. 
Een verhandeling, die F. Gerbaedi in 1881 te Turijn gepubliceerd moet hebben, 
doch die ik alleen bij Saemon ( Geometry of three dimensions, blz. 191) vermeld vond 
en o.a. niet in de Fortschritte der Mathemaük is gerefereerd, heb ik niet kunnen 
raadplegen. Overigens is de litteratuur, naar ik meen, volledig aangegeven. 
