( 226 ) 
xy z 2 { q r ( — q 2 r 2 -f- r 2 p 2 -j- P" <? 2 ) x } = P' <? 2 J>2 — G/ 2 ^ 2 ) 
van den kegel /£ 4 , die O tot top en de doorsnee van S* met het raak- 
vlak tot richtkromme heeft. Deze kegel nu moet ontaarden in twee 
kegels K 2 . Werkelijk doen de substituties 
q r — l, r p — vi, p q — n 
1 1 
en x = — , y = — , 2 
5 P 
1 
£ 
de vergelijking in Imn 2 t 2 — £ { l ( — l 2 -j- m 2 -}- n 2 ) >7 £ } = 0 over- 
gaan, waarvan het eerste lid het product is van twee eerstemachts- 
factoren. Want de determinant 
2 1 vi n , 
— n (l 2 -f- m 2 — 7è 2 ), 
— m {l 2 — m 2 -}- ?? 2 ) 
— 
n (l 2 -|- m 2 — n 2 ), 
21 vin , 
— 1 ( — l 2 -j- vi 2 -f- n 2 ) 
— vi (l 2 — m 2 -j- n 2 ), 
— 1(— i 2 -\-m 2 -\-n 2 ), 
2 1 vin 
van Hesse herleidt zich 
tot 
2 l 2 
— ( 1 2 -f- m 2 — n 2 ), 
— ( 1 2 — m 2 -|- n 2 ) 
1 vin 
— {I 2 -}- m 2 — n 2 ), 
2 m 2 
— ( — 1 2 -(- vi 2 -f- n 2 ) 
— (/ 2 — m 2 -f- n 2 ), 
— ( — P -j- m2 H - n2 )f 
2 n 2 
en deze laatste is identisch nul, wijl de som der elementen in 
iedere rij (en in iedere kolom) nul is x ). 
5. In de verkregen vergelijking Imn 2 £ 2 — enz. = 0 hebben de 
termen § 2 , if, £ 2 denzelfden coëfficiënt. Dus moet het eerste lid 
het product zijn van twee eerstemachtsfactoren a § b rj -\- c £ en 
£ tl L, 
- + die bij teruggang tot x, y, 2 de bij elkaar behoorende 
abc 
y 2 z x x y 
kegels ay z -\-b 2 x -\- cxy = 0 en f- ) =: 0 opleveren. Hier- 
a b c 
mee is de in minder overzichtelijken vorm door Cremona gegevene 
involutorische verwantschap tusschen de kegels K 2 bewezen. 
x ) Een overeenkomstig bewijs van deze ontbindbaarheid gaf K. Th. Vahlen in de 
Jcta Mathemativa , deel 19, blz. 199. Verder bewees G. Castelnuovo, in de Rendi- 
conti van de Accad. Reale dei Lincei, reeks 5, deel 3, blz. 22, de stelling van 
Kkonecker, volgens welke een enkelvoudig stelkundig oppervlak, dat door een twee- 
voudig oneindig aantal vlakken volgens ontaardende krommen gesneden wordt, of een 
regelvlak of een oppervlak van Steiner zijn moet (vergelijk o.a. Revue semestrielle, 
II 2, blz. 98). 
