( 229 ) 
Uit de vergelijkingen der vier bijzondere raakvlakken kan o.a. 
blijken, dat de tangentieele vergelijking van S 4 in de boven gegeven 
notatie het plusteeken heeft. 
9. De cirkels van aanraking der bijzondere raakvlakken maken 
deel uit van de parabolische kromme van *S 4 ; wat meer zegt, zij 
vormen gezamenlijk de parabolische kromme 1 ). We bewijzen dit 
rechtstreeks door den determinant van Hesse 
y + * 3 * 
2 x y — k z, 
2 x z — ky, 
yz 
2 x y — k z, 
Z 2 -j- X 2 , 
2 y z — k x, 
Z X 
2 x z — k y, 
2 y z — k x, 
x 2 -\-y 2 , 
xy 
yz > 
Z X , 
xy , 
0 
naar de randen der eentermige elementen te ontwikkelen en deze 
uitkomst nul te stellen. Dit geeft 
— 2 
'y 2 z 2 
z 2 -\-x 2 , 2 y z — h x 
2 y z — k x, x 2 -j- y 2 
+ 
-j- 2 x y z 2 | x 
y 2 -j- z 2 , 2 x y — k z 
2 x z — k y, 2 y z — k x 
— 0 
of 2 (y 4 2 4 ) — x 2 y 2 z 2 { k 2 -f- 2 (x 2 ) } = 0. In verband met de herleiding 
2 O/ 4 * 4 ) = { 2 (y 2 z 2 ) } 2 — 2 a-8 y 2 z 2 2 ( x 2 ) = 4 k 2 x 2 y 2 z 2 — 2 x 2 y 2 z 2 2 ( x 2 ) 
gaat dit in x 2 y 2 z 2 \k 2 — 2 ( x 2 ) } = 0 over. Dus bestaat de parabo- 
lische kromme buiten de dubbellijnen om uit de doorsnee van 
$ 4 = 0 met den bol 2 (x 2 ) = k 2 . 
10. We zoeken de vergelijking van S 4 in homogene afstands- 
coördinaten met betrekking tot het regelmatig viervlak der bijzondere 
raakvlakken. De bij deze transformatie behoorende vergelijkingen zijn 
x “1“ y — z — [— k — 3 
x — y — z -\- k = x 2 \/3 
— x y — z k — x% [/ 3 
— x — y -\- z k = x±\/ 3 
Ax = fa x 2 — A ’3 — x 4 ) i/3 
4 */ = 0®i — + «3 — x è 1/3 
4 z = (x 1 — x 2 — x 3 + x 4 ) i/3 
4 k = (x 1 -j- x 2 -f- x 3 -f- x 4 ) l/3 
*) Eigenlijk bestaat de parabolische kromme uit de vier cirkels en de achtmaal ge- 
telde dubbellijnen. Want deze lijnen zijn viervoudige lijnen op het oppervlak van 
Hesse (vergelijk Cremona, t. a. p. en de uitgewerkte vergelijking van het oppervlak). 
