( 273 ) 
geen ruimtekrommen R 4 van de eerste soort zonder dubbelpunt op 
liggen. Deze belangrijke uitkomsten, die we, wat de krommen 7£ 3 
en R 4 aangaat, onafhankelijk van Cremona en Sturm verkregen 
hebben, mogen hier met eenige nieuwe beschouwingen aan de voor- 
gaande mededeeling worden aangesloten We gaan hiertoe voorname- 
lijk over, wijl het bew r ijs van Cremona hoe scherpzinnig ook toch 
kunstmatig en dat van Sturm met betrekking tot de krommen van 
oneven graad niet streng is. 
2. Uit de vergelijking y 2 z 2 + z 2 x 2 -f- = 2 kxyz van S 4, volgt 
onmiddellijk, dat de beide raakvlakken in het punt (a?i, 0, 0) door de 
vergelijking x l y cl — 2 kyz -f- ^ z 2 = 0 bepaald worden. Bij verplaat- 
sing van het aangenomen punt R langs de X as vormen deze vlak- 
ken 7i i en Ti 3 dus een involutie, waarin elk vlakkenpaar een twee- 
vlakkenhoek vormt met de beide vlakken y ± z — 0 tot gemeen- 
schappelijke deelvlakken. In verband met de bekende eigenschappen 
van de involutie der toegevoegde middellijnen eener gelijkzijdige 
hyperbool wordt deze involutie een gelijkzijdig hyperbolische vlakken- 
involutie genoemd. De gemeenschappelijke deelvlakken, die tevens 
de dubbelvlakken der involutie zijn, belmoren bij de punten x— dt k, 
die op de as het gebied der punten met bestaanbare raakvlakken- 
paren insluiten. En voor * = 0 vallen de beide raakvlakken met 
de coördinaatvlakken XY en XZ samen. 
3. Met betrekking tot elk punt P gemeen aan een op *S 4 gelegen 
ruimtekromme en een der coördinaatvlakken, de raaklijn p aan den 
door dit punt gaanden tak en het kromtevlak n van de kromme in 
dit punt aan dien tak leiden we uit het voorgaande de volgende 
besluiten af : 
a. Elk niet met den oorsprong samenvallend punt P ligt op een 
der assen, 
b. In het algemeen is de raaklijn p een willekeurige lijn door P 
in een der beide raakvlakken n 1 en in P aan aangebracht en 
dus niet in een der coördinaatvlakken gelegen ; P telt dan vooreen 
enkel snijpunt van de kromme met elk dier beide vlakken. In het 
bijzondere geval, dat de raaklijn P met de as samenvalt, valt het 
kromtevlak n met een der beide raakvlakken samen; P telt dan 
voor twee snijpunten van de kromme met elk der beide coördinaat- 
vlakken door de as. En in het nog meer bijzondere geval, dat de 
as in P drie of meer opvolgende punten met den beschouwden tak 
gemeen heeft, zal P steeds voor hetzelfde aantal snijpunten vau den 
tak met elk der beide coördinaatvlakken tellen. 
c. De raaklijn aan een door den oorsprong gaanden tak ligt in 
het algemeen in een der drie vlakken, die den kromtekegel van het 
