( 275 ) 
(3 + 2 + 1) en elk punt r twee (1 + 1 + 0) snijpunten op. Hieruit 
volgt dan weer 
3?? = 4 S-p + 6 Sq + 2 Sr, 
als boven l ). 
Slotsom : op S* ligt geen ruimtekromme van oneven graad. 
5. De ruimtekromme B 4 ( 2,2). Deze kromme is de basiskromme 
van een bundel kwadratische oppervlakken. Iedere lijn van elk der 
beide stelsels beschrijvende lijnen van ieder dezer oppervlakken is 
koorde (tweepuntige snijlijn) der kromme. Door een willekeurig ge- 
kozen punt der ruimte gaan twee koorden der kromme. Drievoudige 
koorden (driepuntige snijlijnen) kent ze niet. 
Laten we de krommen met een dubbelpunt voorloopig buiten be- 
schouwing, dan hebben we twee gevallen te onderscheiden. 
a). De kromme gaat niet door O. De eenige onderstelling, die met 
de verdeeling der snijpunten van de kromme en de coördinaatvlak- 
ken over de assen te rijmen is, verlangt, dat elk der assen twee 
punten der kromme draagt. Uit r% + r 3 = r % + r x — r x + r 2 = 4 
volgt dit onmiddellijk. Omdat de kromme geen drie door O gaande 
koorden toelaten kan, moet deze onderstelling echter verworpen 
worden. 
') Het bewijs door Stürm (t. a. p., blz 98) van deze stelling gegeven gaat aan 
vele gebreken mank. Eerstens is bet niet overziclitelijk. 'ten tweede hinkt het op twee 
gedachten ; want het maakt gebruik èn van den graad der doorsnee met den projec- 
teerenden kegel èn van het aantal snijpunten met elk der projectievlakken, terwijl de 
beschouwing van een van beide reeds tot het doel voert. Doch wat meer zegt, het 
is onjuist. Want bij de telling van de snijpunten met de projectievlakken is onopge- 
merkt gebleven, dat elke tak q door O voor één der beide door de raaklijn gaande 
coördinaatvlakken drie snijpunten oplevert. De uitkomst n — 2p x -\~ 2 p 2 -j- 4 q 3 -t- 2 r 3 , 
waaruit Sxurm het belangrijke besluit trekt, moet dan ook wijziging ondergaan. Splitst 
zich het aantal q x der takken, die de X-as aanraken, in q n takken met het X H-vlak 
en q l3 takken met het XZ vlak tot kromtevlak en is in cyclische volgorde voort- 
gaande q 2 evenzoo uit q 23 en q 2X , q 3 evenzoo uit q 3x en q 32 samengesteld, dan geeft 
telling van het aantal snijpunten met elk der drie coördinaatvlakken de vergelijkingen 
n = 2p 1 + p 2 + p 3 + Sq 23 + Sq 32 +2 q 3X + q l3 + q X2 + 2 q n + r 2 + r 3 , 
n— p l +2p 2 + p 3 + q 23 -f 2 q 32 + 3 q 31 + 3 q 13 + 2 q x2 + f ai + r 3 + r x , 
n — Pi + P -2 + 2 P 3 + 2 q 23 -j- q 32 -\- q 3[ + 2 q l3 -f 3 q X2 + 3 q 2X -f- r x + r 2 . 
Trekken we nu de derde vergelijking af van de som der beide anderen, dan vinden we 
» = % Pi + 2p 2 + 4 q 3 + 2 r 3 -f 2 {q l3 -f- q n ). 
Hieruit blijkt dus, dat het verschil juist teweeg gebracht wordt door het buiten be- 
schouwing laten van het kromtevlak in O aan de takken, die daar de assen aanraken. 
