( 276 ) 
b). De kromme gaat door O. Ook deze onderstelling is onaan- 
nemelijk, wijl ze steeds tot een drievoudige koorde door O voert. 
Slotsom : op *S 4 ligt geen R 4 (2,2) zonder dubbelpunt. 
6. De ruimtekromme A 4 (3,l). Door deze kromme gaat slechts 
een enkel kwadratisch oppervlak. Yan de beide op dit oppervlak 
gelegen stelsels beschrijvende lijnen hebben die van het eene drie 
punten, die van het andere één punt met de kromme gemeen. Door 
een willekeurig gekozen punt der ruimte gaan drie koorden, die 
zich ook tot een drievoudige koorde kunnen vereenigen. 
De eenige boven sub 5 a ) met de verdeeling der punten over de 
assen bestaanbare onderstelling, nl. dat elke as twee punten der 
kromme draagt, behoeft hier niet verworpen te worden. Aanstonds 
zal blijken, dat ze werkelijk tot het doel voert. 
Slotsom : De eenvoudigste ruimtekrommen op S 4, zijn krommen 
A 4 (3,1). 
In het vervolg duiden we de krommen A 4 ( 2,2) en A 4 (3,l) naar 
de benaming krommen A 4 van de eerste en tweede soort door A\ 
en A 4 2 aan. 
7. De eenvoudigste handelwijs ter verkrijging van een op S 4 ge- 
legen A 4 2 bestaat hierin, dat we £ 4 snijden door een kegel K 4 van 
den vierden graad, die O tot top en de assen tot dubbel ribben heeft. 
Deze kegel snijdt £ 4 volgens een kromme van den zestienden graad 
met O tot twaalfvoudig punt, waarvan de assen viermaal deel uit- 
maken. Dus moet de rest een niet door O gaande kromme A 4 zijn. 
En deze is een A 4 2 , wijl ze met elk der assen twee punten gemeen 
heeft. Immers, uit de beschouwing van de involutie der raakvlak- 
ken aan S 4 in de punten van een der assen volgt, dat deze as twee 
punten P bevat, waar een der beide raakvlakken aan £ 4 samenvalt 
met een der beide bij een verplaatsing van P over de as niet ver- 
anderende raakvlakken van A 4 langs deze as. En nu geldt algemeen 
het volgende beginsel. Eenig oppervlak, dat m-malen door een dub- 
bellijn van -S 4 gaat, snijdt £ 4 behalve in deze dubbellijn volgens ecu 
kromme, die de dubbellijn ontmoet in elk punt, waar een der m 
raakvlakken aan het oppervlak met een der beide raakvlakken aan 
/S 4 samenvalt. 
De kegel A 4 wordt ondubbelzinnig bepaald, als men behalve de 
drie dubbelribben nog vijf enkelvoudige ribben willekeurig aanneemt. 
Anders gezegd : door vijf willekeurig op £ 4 aangenomen punten gaat 
steeds een enkele A 4 2 . Dus vormen de krommen A 4 2 op *5 4 een vijf- 
voudig oneindig stelsel. Want door middel van alle kegels A 4 met 
de assen tot dubbelribben vinden we alle niet door O gaande krom- 
men A 4 ? omdat elk dezer krommen uit O door zulk een kegel ge- 
