( 277 ) 
projecteerd wordt. En verder zal blijken, dat de ontaardingen dier 
kegels de overige op S 4 gelegen krommen van den vierden graad 
opleveren. 
8. Door elk der krommen it! 4 3 gaat een enkel kwadratisch opper- 
vlak F 2 . Dit bevat het punt O niet en moet *S 4 dus snijden vol- 
gens een niet door O gaande ruimtekromme van den achtsten graad 
met twee dubbelpunten op elk der assen. De kromme iü 4 3 , van 
welke we uitgingen, maakt deel uit van deze doorsnee ; dus is de 
rest een andere R\, die met de eerste de zes punten op de assen 
gemeen heeft. Dus worden de krommen R é 9f en met haar de kegels, 
die ze uit O projecteeren, door de oppervlakken i^ 3 , die twee dezer 
krommen bevatten, involutorisch gepaard. 
De twee krommen iü é 2 , die op een zelfde oppervlak F 2 liggen, 
hebben samen met elke beschrijvende lijn van dit oppervlak vier 
punten gemeen, wijl deze liju vier punten gemeen heeft met $ 4 . Dus 
zullen de beschrijvende lijnen van -F 2 , die drie punten gemeen heb- 
ben met de eene kromme R\ één punt gemeen hebben met de 
andere kromme iü 4 3 en omgekeerd. Dit volgt ook uit het aantal 
gemeenschappelijke punten der beide krommen. Met behulp van het 
door Chaslf.s ingevoerde coördinatenstelsel op F 2 {Gompies rendus , 
deel 53, blz. 985) blijkt nl. onmiddellijk, dat twee krommen 72 4 3 , 
die zich met betrekking tot elk der beide stellen van beschrijvende 
lijnen op dezelfde wijs gedragen, slechts zes punten gemeen hebben, 
terwijl dit aantal tot tien klimt bij twee krommen hh' 2 als de boven 
gevondene. Werkelijk hebben de twee kegels /v 4 buiten de assen 
om vier ribben gemeen en snijden de beide krommen 7Ü 4 3 elkaar dus 
in zes punten op en in vier punten buiten de assen. 
9. In het voorgaande opstel over é? 4 (zie blz. 226, n°. 5) is gevonden, 
yz zx xy 
dat de kegels ayz-\-bzx-\-cxy = 0 en 1 1 = 0 op *S 4 
abc 
twee in een zelfde vlak gelegen kegelsneden bepalen. Daar is deze 
uitkomst verkregen met behulp van de vergelijking van het raakvlak. 
Hier wenschen we ze langs een anderen weg af te leiden, omdat 
dit ons onmiddellijk tot een uitbreiding van deze beschouwing op 
het geval van de involutic der kegels K 4 voereu kan. Deze han- 
delwijs steunt op het in n°. 7 aangevoerde algemeene beginsel. 
Gaat men van een willekeurigen kegel ayz-{-bzx-\-cxy — 0 
uit, die op £ 4 de kegelsnee C 3 bepaalt, en wil men nu een anderen 
kegel zoeken, die op 5* een met C* 2 in hetzelfde vlak liggende 
kegelsnee C' 2 aan wijst, dan moet men er voor zorgen, dat C' 2 met 
C 2 de snijpunten met de assen gemeen heeft. In verband met het 
aangegeven beginsel wordt dit doel bereikt door van den aangeno- 
