( 281 ) 
a, b , c rloor vervangt en vervolgens met a 4 b é é verme- 
a b c 
nigvuldigt. 
13. De overige ruimtekrommen van den vierden graad op £ 4 
gelegen zijn in het gevondene vijfvoudig oneindige stelsel begrepen. 
Onder deze komen krommen met een dubbelpunt voor. Daarom 
toonen we eerst aan, dat een zich niet in deelen van lageren graad 
splitsende ruimtekromme P 4 met een dubbelpunt noodzakelijk een 
P 4 i zijn moet. 
Is P 4 2 de aanvullingsdoorsnee van twee oppervlakken F 3 en P 3 , 
die de elkaar kruisende lijnen l en m gemeen hebben en elkaar in 
een niet op ^ of m gelegen punt P aanraken, dan zal de door P 
gaande en op l en m rustende lijn n tot F ' 2 belmoren en dus in 
het raakvlak n van F 2 in P gelegen zijn. Wijl dit vlak tevens 
raakt aan F' 3 in P, zal n dus vier punten met P 3 gemeen hebben, 
nl. twee in P en één op elk der lijnen l en m. Dus zal n ook op 
F 3 liggen en derhalve deel uitmaken van de aanvullingsdoorsnee P 4 2 . 
En als we aangenomen hadden, dat P op l of m gelegen was, zou 
er geen kromme P 4 met een dubbelpunt voor den dag gekomen zijn. 
Korter bewijst men hetzelfde aldus. De twee door het dubbel- 
punt P van P 4 gaande beschrijvende lijnen van een door de kromme 
gaand oppervlak F 3 liggen met de dubbelpuntsraaklijnen van P 4 
in het raakvlak aan F 3 in P en hebben dus elk twee punten met 
P 4 gemeen; dus is deze kromme een PV 
Wat het geslacht harer projecties betreft, komen de krommen P 4 i 
met een dubbelpunt trouwens weer overeen met de krommen P 4 a zon- 
der dubbelpunt. 
Opzettelijk is boven bij de behandeling der kromme P 4 X het 
geval van een dubbelpunt voorloopig uitgesloten; wat we omtrent 
het voorkomen dezer krommen op *S 4 wenschen op te merken, zal 
aanstonds een plaats viuden. 
14. Nemen we eerstens een der vijf enkelvoudige ribben, die 
een tweemaal door de assen gaanden kegel P 4 bepalen, in het YZ- 
vlak aan, dan splitst deze kegel zich in dat vlak en in een kegel 
P 3 , die de X-as tot dubbelribbe heeft en eenmaal door elk der 
beide andere assen gaat. Deze kegel P 3 snijdt £ 4 volgens een 
negenmaal door O gaande ruimtekromme van den twaalfden graad, 
waartoe de X-as viermaal en de andere assen tweemaal behooren. 
De rest is dus een door O gaande P 4 2 , die de X-as tot drievoudige, 
de andere assen tot enkelvoudige koorden heeft. Even als het stelsel 
der kegels /C 3 , is dat der door O gaande krommen P 4 2 viervoudig 
oneindig ; van deze stelsels zijn er drie, een voor elk der assen. 
