( 283 ) 
van O verschillend punt snijdt, zal de kegel X 2 , die de kromme uit 
O projecteert, behalve deze met £ 4 nog slechts de dubbel getelde 
F-as en F as gemeen hebben. Dit blijkt ook stelkundig. Door in 
de algemeene vergelijkingen der toegevoegde kegels X 4 de substituties 
& = 0, c = 0, b — ec, q— cc,r= cc,p = oo 2 , cq = q ' , cr = r' , b cp = ap' 
uit te voeren gaan ze over in 
ayz -j- 2 (p x -j- q' y -)- er' z) = 0, x — 0 
terwijl het oppervlak F 2 door R\ dan tevens door de eerste dezer 
beide vergelijkingen wordt voortgesteld. 
We onderzoeken verder, wat de overige oppervlakken X 2 door X 4 l7 
die geen kegels zijn met O tot top, nog met aS 4 gemeen hebben. We 
doen dit echter alleen meetkundig, wijl het teruggaan tot de verge- 
lijkingen, die ons boven het oppervlak F 2 door R * 3 geleverd hebben, 
te veel p'aats zou vorderen. 
Elk willekeurig oppervlak F 2 door R\ snijdt de F-as en de Z- as 
in dezelfde punten, die de kromme met deze assen gemeen heeft en 
de X-as behalve in O in een veranderlijk punt P. Het heeft met 
aS 4 naast R*i een tweede kromme R* gemeen, die ook een R A \ moet 
zijn en dus een dubbelpunt meet vertoon en ; dit dubbelpunt is P. 
We gaan het geval, dat in elk der drie coördinaatvlakken een der 
vijf bepalende ribben van X 4 willekeurig aangenomen wordt, met 
stilzwijgen voorbij, wijl dit voert tot de vlakke doorsneden van & 4 
door O. 
16. Ten slotte verkrijgen we de zooeven reeds gevondene krom- 
men X 4 j, die buiten O op een der assen een dubbelpunt vertoonen, 
als de beide raakvlakken langs deze as aan X 4 aangebracht een 
vlakkenpaar der bij deze as behooreude vlakkeninvolutie van S 4 
vormen 1 ). In het algemeene vijfvoudig oneindige stelsel der krom- 
men X 4 2 vormen deze krommen X 4 x gezamenlijk drie viervoudig on- 
eindige stelsels, terwijl de krommen R‘ i \ met gegeven dubbelpunt P 
een drievoudig oneindig stelsel vormen. Want het telt voor één 
aan X 4 opgelegde voorwaarde, dat de raakvlakken langs een dub- 
beliijn met eenig paar der bij S 4 optredende raakvlakkeninvolutie 
*) Als men de twee raakvlakken van A 4 langs een der assen doet samenvallen en 
deze as dus tot keerribbe van A 4 maakt, vindt men een A 4 2 , die de as aanraakt. 
