( 284 ) 
langs deze dubbellijn samenvallen, en voor twee voorwaarden, dat 
ze dit met een bepaald paar doen 2 ). 
Elk oppervlak F 2 door een kromme R\ waarvan het op de X-as 
gelegen punt P bet dubbelpunt is, snijdt de Y- en Z-assen in de 
vaste puntenparen, die met deze assen gemeen heeft, en de X-as 
behalve in P in een veranderlijk punt Q. Dit oppervlak heeft met 
dus nog een tweede kromme R\ gemeen, die de eerste snijdt in 
de op de Y- en Z- as gelegen punten en in Q een dubbelpunt heeft. 
Is het oppervlak de kegel met P tot top, dan valt Q met P samen. 
Gaat in een bijzonder geval de aangenomen kromme door 0, 
alwaar ze dan een in het Y Z-vlak gelegen lijn aanraakt, dan levert 
elk oppervlak F~ door R^i een tweede kromme X 4 * '] op, die in O 
een dubbelpunt heeft, waarvan de raaklijnen als in het vorige num- 
mer over de vlakken XY en XZ verdeeld zijn. 
17. Onder de kegels met een punt P der X-as tot top, die *S 4 
volgens twee krommen R i 1 snijden, komt ook de kegel -X 2 voor, 
die omhuld wordt door de door P gaande vlakken, die é> 4 elders 
aanraken 3 ). Op dezen vallen de beide krommen van doorsnee in 
één kromme van aanraking samen. De beschouwing van blz. 227, 
n°. 7 levert ons spoedig de vergelijking van dezen kegel. Doorvoor 
u, v, w de gevonden waarden in te voegen in xu-\-yv-{-zw-\-\ = 0 
gaat deze vergelijking van het raakvlak in x Cos. A -j- y Cos. B -\- z Cos. C 
= k over, of, als men de coördinaten van Pdoor (a^, 0, 0) voorstelt, 
in O — *D Cos. A -f- y Cos. B z Cos. (7 = 0, waarbij dan de voorwaarden 
a^Cos. A = k f d.i. A standvastig', en A -(- B -f- C = 180° gelden. Dus 
geeft differentiatie, wijl volgens de laatste voorwaarde d B -j- d C = 0 
is, y Sin. B — z Sin. (7=0. We hebben dus 
y Cos. B -j- z Cos. C = — (a? — x{) Cos. A, 
y Sin. B — z Sin. (7=0 
en vinden nu door de vergelijkingen in het kwadraat te brengen 
en op te tellen y 1 — 2 y z Cos. A -(- z z = (x — Cos. 2 A, 
2 ) Deze uitkomst is in strijd met de bewering van Sturm, dat elke kegel X 2 , die 
een punt der dubbellijnen tot top heeft, S* volgens twee krommen ll\ snijdt. Deze 
bewering is echter onjuist. 
3 ) Zoo als uit de theorie der poolvlakken onmiddellijk volgt, omhullen de raak- 
vlakken door een willekeurig punt der ruimte een X 6 , die door een willekeurig punt 
van S 4 een X 4 en die door een willekeurig punt van een der dubbellijnen een X 2 . 
