8 
6. Z uvedeného obdržíme jednoduchou konstrukci pro křivku křivo- 
značnou jakožto křivku proniku dvou ploch konfokalních. 
1. Budiž křivka ta v pronikem ellipsoidu a jednodílného neb dvoj- 
dílného hyperboloidu. Křivka ta jest v případě prvém affinní s křivkou U, 
v případě druhém s křivkou W prve zmíněnou. Průměty obou do roviny 
(x z) splývají v kružnici ( W ), jejíž rovnice jest £ 2 -f £ 2 = a 2 — c 2 . Sestrojme 
nejprv jeden průsečík G obou ploch v rovině (x z) z vlastnosti, že vzdá- 
lenost toho bodu od jednoho ohniska společného křivkám hlavním v (x z) 
plochám uvažovaným přináležejících, z nichž jedna jest ellipsa, druhá 
hyperbola, rovná se vzdálenosti vrcholu hlavního jedné křivky od vrcholu 
hlavního druhé a sice sluší bráti stejnolehlé neb nestejnolehlé vrcholy 
vzhledem ku z dle toho jestli ohnisko to a bod G jsou vzhledem ku z 
stejnolehlými neb nestejnolehlými a z vlastnosti, že vzdálenost O G rovná 
se vzdálenosti vedlejšího vrcholu ellipsy od hlavního vrcholu hyperboly, 
jak to z věty Ivory-ho bezprostředně vychází. 
Třetí plocha bodem G jdoucí a v soustavě konfokální obsažená jest 
representována fokální hyperbolou h. Vedeme-li tudíž vrcholem jejím 
rovnoběžku ku z, protne tato kružnici ( W ) reálně. Budiž G x jeden neb 
druhý z bodů průsečných. Průmět orthogonalný (v) křivky v do roviny 
(x z) jest affinní s (W) pro x a z jakožto přímky samodružné a pro G x 
a G jakožto body sobě příslušné. Jest tudíž (v) ellipsou. Veďme bodem G 
rovnoběžku ku 0 G l protínající x v bodě G x , z v bodě G z . Jsou-li (x, z) 
souřadnice bodu G a (x lt z x ) souřadnice bodu v soustavě O ( x , z) a jsou-li 
m x , m z příslušné poloosy ellipsy (v), plyne z úměry x : x 1 = m x : O G í 
dané affinitou a z úměry % : x 1 = G G z : G 1 O, vycházející z právě pro- 
vedené konstrukce, že m x = G G z a obdobně m z = G G x . Odvození 
orthogonalního průmětu pro v do ostatních rovin souřadných provede se 
dále známým způsobem. Tím jsme sestrojili tedy průměty křivky v dán-li 
byl jeden její bod v rovině (x z). Je-li dán bod H křivky té v rovině (xy), 
odvodíme si jeho průmět (H) do (x z), naneseme na 0 GJ délku O H 1 = O (H) 
a bodem H 1 vedeme rovnoběžku ku z, jež protne křivky hlavní uvažova- 
ných ploch 2. stupně ve společných bodech; označíme-li jeden z nich 
opět G, tedy vedeme bodem G rovnoběžku k přímce O G 1 protínající % 
v bodě G x a G G x jest délka poloosy na z položené pro průmět (v) křivky 
hledané. 
Leží-li konečně průmětem svým (H) do (x z) daný bod H křivky v 
v rovině (y z) naneseme O ( H ) na 0 G do O H lt bodem H 1 vedeme rovno- 
běžku k x. Je-li opět G jeden společný průsečík této rovnoběžky s hlav- 
ními křivkami uvažovaných ploch, vedeme ním rovnoběžku ku O G 1 protí- 
nající z v bodě G z a G G z je délka poloosy pro (w) položené na x. 
2. Budiž křivka v pronikem hyperboloidu dvojdílného s ellipsoidem 
aneb s hyperboloidem jednodílným, tu můžeme stanovití nejprve bod G 
v rovině (x y ) j akožto reálný průsečík křivek hlavních pro plochy ty obsaže- 
ných v (xy). Křivka v jest affinní s W resp. w, průmět orthogonalný v' 
XVIII. 
