13 
Mají-Ii býti tyto plochy konfokální, musí býti 
A 2 — B 2 = A' 2 — B"\ B 2 — C 2 = B' 2 — C' 2 , C 2 — ^4 2 = C' 2 — A ' 2 , 
z čehož plyne 
B 2 
G ^ C 2 2 
r , = A*(A 2 2 -C 2 )-A*(A 2 -B 2 ) 
^ A? A i 
Poslední dvě rovnice stanoví skutečně dvě konfokální plochy protína- 
jící se v křivce v. 
Konstrukce ploch těch, když v jest křivkou reálnou obdrží se snadno 
z průmětů v', v". Vrcholy průmětu v', resp. v" položenými na % veďme 
rovnoběžky p, p* , resp. q, q* k 2 , resp. y. První protnou v" ve čtyřech 
bodech R. R lt resp. R.,, R 3 , druhé protnou v' ve čtyřech bodech S, S 1 , resp. S 2 , 
S 3 , z nichž alespoň prvé nebo druhé budou reálnými. Volme případ první. 
Kuželosečky body S, S x , S 2 , S 3 procházející tvoří svazek (S). Přiřaďme 
každé kuželosečce (S) x ve svazku tom onu kuželosečku (S) 2 , která k ní 
jest konfokální. 
Tím obdržíme involuci 7 X ve svazku (S). Body, v nichž libovolná kuželo- 
sečka S* svazku (S) seče v a body R, R lt R 2 , R 3 prochází jediná kuželo- 
sečka R*. Přiřaďme takto každé kuželosečce S* příslušnou kuželosečku R*, 
obdržíme svazek (R) kuželoseček R promětný ku svazku (S). Involuci 7 X 
v (S) bude příslušeti promětná involuce / 2 v (. R ). Příslušné tečny kuželo- 
seček R* v bodě R budou tvořiti taktéž involuci I Q . Pravoúhlý pár g x g 2 
této involuce bude tvořen tečnami k oběma kuželosečkám v (R) tvořícím pár 
involuce Z 2 ; následkem toho budou tyto kuželosečky R t *, R 2 * konfokal- 
ními; jim přísluší v / x kuželosečky 5 X *, S 2 *, které jsou taktéž konfokální. 
Plochy, z nichž jedna má fvý*, 5 X *, druhá R 2 *, S 2 * za křivky hlavní, 
jsou konfokální a protínají se skutečně v křivce v; neboť první plocha jest 
tím, že prochází křivkou v úplně stanovena, vytkneme-li ještě libovolný 
bod na R x *, jímž má procházeti, to jest ale naše plocha, jež prochází křiv- 
kami Rj*, Sj*. Obdobně usuzujeme pro plochu druhou. 
Konstrukce tato se jednoduše provede, když stanovíme v Z x kuželo- 
sečku s, jež tvoří s v' jeden pár. Je-li yf 2 poloosa pro v", A 1 pro v' na x, 
značí-li dále e 2 čtverec vzdálenosti ohniska na x pro v' od bodu O, a X s 
jeden vrchol pro s na v, tu platí pro veškeré možné případy dle odst. 9. relace 
c 2 d 2 2 = A x 2 . OXs 2 . 
Touto relací jsou stanoveny vrcholy na v pro křivku s, jež přináleží 
též příslušné křivce v (R), která jest tím stanovena takže lze přímo tečnu 
její t v bodě R známým způsobem sestrojiti. Tečna ta tvoří s přímkou p 
jeden pár involuce I Q . Přímky z O k bodům S, 5 X , S 2 , S 3 jdoucí tvoří 
jednu kuželosečku v (S); příslušná k ní kuželosečka v 7 X jest kružnice s 0 
body S, S lt S 2 , S 3 jdoucí. Kružnice ta se jednoduše sestrojí i když tyto 
body jsou imaginarné tím, že známe pro ni středO a involuci sdružených 
XVIII. 
