24 
tečné roviny vrcholové plochy H. Učiníme-li tudíž i co do smyslu 
M x X 1 a) = V H, M x X 2 {1) — V F obdržíme v bodě Xý 1 * vrchol paraboly 
Vy , v bodě X 2 (1) vrchol parabol}/ v-,". 
Patrně jest tu 
Xy X 2 = XyW X 2 n > = XyW X ^ = b~C. 
Z těchto relací soudíme: 
„Křivky křivosti, v nichž se tři konfokální paraboloidy daným 
bodem M procházející protínají, promítají se do hlavních rovin těchto 
paraboloidů v paraboly té vlastnosti, že vzdálenost vrcholu libovolné 
z nich od průmětu M x bodu M na společnou osu ^ paraboloidů rovná se 
poloparametru paraboly stopní s parabolou takovou v téže rovině hlavní 
položené a onomu paraboloidu náležející, na němž příslušná křivka křivosti 
neleží. “ 
Věta ta vyplývá přímo z vlastnosti, že řezy paraboloidu s rovinami 
rovnoběžnými s jednou neb druhou rovinou hlavní jsou shoclny a shodně 
položeny. Posuneme-li tudíž ve směru osy x řez hlavní p 2 , resp. py para- 
boloidu ležící v (x z), resp. [xy) až přijde do polohy (p 2 )", resp. (py)' pro- 
cházející bodem M", resp. M' , pak jsou (p 2 )" a (py)' průměty křivek (p 2 ), (py) 
na paraboloidu obsažených v rovinách bodem M rovnoběžně ku (x z) 
a (x y) vedených, takže normála v M ku paraboloidu se promítá do (x z) 
v normálu křivky (p 2 )" shodné s p 2 a do (x y) v normálu křivky (py)' 
shodné s p v Normála ta jest ale tečnou ku křivce v, čímž správnost naší 
věty jest prokázána. 
Máme-li dvě paraboly (py), (p 2 ) souosé a je-li T bod na jejich ose x, 
v němž se společné jejich tečny ležící v konečnu protínají, je-li dále p x 
polára bodu T vzhledem ku (py), p 2 vzhledem k (p 2 ) a q společná tětiva 
obou parabol, tu půlí q vzdálenost přímek py, p 2 . Jsou-li (py), (ý 2 ) kon- 
fokální, splývá bod T s jejich společným ohniskem, py jest přímkou řídící 
pro (py) a p 2 pro (/>,) ; zde tedy půlí q vzdálenost těchto přímek řídících. 
Když máme tedy sestrojiti průsek dvou paraboloidů konfokalních, 
z nichž prvý má v (x y) za stopu křivku r x , druhý v (x z) pak r 2 , resp. s 2 
a jestli R vrchol prvého, S vrchol druhého paraboloidu, promítá se pronik v 
obou do (x y) v parabolu v' do (x z) v parabolu v”) vrchol této II půlí 
vzdálenost přímek řídících parabol r v s x a vrchol oné I půlí vzdálenost 
přímek řídících parabol r 2 , s 2 , z čehož opět plyne, že R II rovná se polo- 
parametru křivky s x a. S II poloparametru křivky r x a konečně, že I R 
rovná se poloparametru křivky s 2 a I S poloparametru křivky r 2 . 
18. Dva paraboloidy mající společné roviny hlavních řezů protínají se 
obecně v křivce 4. řádu v, jež jest křivkou křivosti pro dva konfokální 
paraboloidy. 
Průměty v', v" jsou dvě paraboly; tedy rovnice jejich mají tvary 
Ky = y 2 — 2 p (x — • ni) =0 
K 2 = z 2 — 2 P (x — n) = 0. 
XVIII. 
