30 
Hledejme zde průměty tečen hlavních t x , t 2 . . . pro body, jejichž 
průměty leží na některé přímce procházející jedním z bodů právě uvažo- 
vaných. 
Zvolme třeba přímku g' procházející bodem K x na x. Pro libovolný 
bod M' na g' obdržíme přímky t x ', t 2 ' jako dvojné paprsky involuce 
M' (L x L 2 . K x K 2 ). Sečou-li přímky t x ', t 2 ' osu y v bodech T x , T 2 , přímka g' 
v bodě G x ', přímka K 2 M' v bodě G 2 jsou T x T 2 dvojné body involuce na y 
dané páry L x L 2t G x ' G 2 . 
Pohybuje-li se M' na g' tu body L x , L. 2 a G x ' se nemění, body T x , T 2 
popíšou involuci na y promětnou k řadě bodu G 2 a tedy i k řadě bodů M'. 
Následkem toho obdržíme mezi body M' a T x , T 2 příbuznost (1,2) značnou 
a ježto bod G x ' v této příbuznosti sám sobě přísluší, proto budou 
páry přímek t x ' , t 2 pro všechny body M' na g' obalovati kuželosečku u. 
Nekonečné vzdáleném bodu M' na g' odpovídají na y bód 0 a taktéž ne- 
konečně vzdálený bod, tedy příslušné přímky t x ’ t 2 jsou rovnoběžka g 0 
ku g' bodem 0 a přímka nekonečně vzdálená. Proto jest u parabolou. 
Parabola ta dotýká se přímky y v bodě Y 0 , který jest od G x ' harmonicky 
oddělen body L x , L 2 , neboť bodu M' == G x ' samodružnému přísluší na y 
právě ještě bod Y 0 . Příslušné tečny t x ' , t 2 pro tento bod jsou ovšem y 
a rovnoběžka g 1 bodem G x ' ku x. Tedy bod G x ' leží na přímce řídící para- 
boly. Umístíme-li M' v průsečíku přímky g' s K 2 L 2 nebo K 2 L 2 seznáme, 
že body ty jsou body rozvětvení v naší příbuznosti (1, 2) a že tedy K 2 L 1 , 
I \ 2 L 2 se v bodech těch dotýkají paraboly u, takže I\ 2 jest polem přímky g' 
vzhledem k u. Spojnice Y 0 K 2 jest proto polárou bodu Gj'; tedy ohnisko U 
paraboly u jest pata kolmice s Gý na K 2 Y 0 spuštěné a průsečík . Y 0 K 2 
jest bodem dotyku přímky g v Bod výšek / trojúhelníku K 2 L X L 2 náleží 
taktéž přímce řídící paraboly u. Seče-h kružnice j trojúhelníku K 2 L 1 L 2 
opsaná x ještě v bodě I, jest 10 — OJ. Jsou tedy přímky / G x ' , I Gj 
souměrně položeny vzhledem ku přímkám y, gj, pročež I Gj prochází 
ohniskem U a splývá s prve uvedenou kolmicí ku K 2 Y 0 . 
Úvahy tyto dávají jednoduché sestrojení přímek tj, t 2 ' pro libovolné 
body M' a tedy i průmětů křivek křivosti na ploše druhého stupně, pro- 
cházejících danými body M na ploše. 
Nejdřív sestrojíme kružnici j jakožto kružnici opsanou trojúhel- 
níku K 2 L x L 2 . Jsou-li body L x , L 2 imaginární, můžeme stanovití snadno 
involuci elliptickou, jejímiž body dvojnými jsou body L x , L 2 . Naše kon- 
strukce poskytují přímo symetrický pár v této involuci. Jsou-li vůbec dány 
dva body, které v involuci té tvoří pár, pak víme, že kolmice s jednoho bodu 
na spojnici bodu druhého s bodem I\ 2 protne x v bodě I , čímž jest přímo 
průměr I K 2 pro j jakož i bod J stanoven. Je-li nyní libovolný bod M' dán, 
spojíme K x s M' , protneme spojnici v G x ' s y a dále protneme jsi G x ' 
v bodě U, jímž vedeme rovnoběžku k přímce / G x ' až protne K x M' v bodě a, 
načež učiníme a [ 3 = M' G x ' a vedeme bodem (i rovnoběžku m k / G x '. 
Kružnice kolem U co středu procházející bodem M ’ seče m ve dvou bodech 
XVIII. 
