3 
Snadno dokážeme též, že středy M, M' úseček P 1 P u , Pj P 2 jsou 
od středu O stejně vzdáleny. 
Neboť jsou-li Pj', P/ body ku P 1 resp. P 7 diametrálně protilehlé, 
tedy P/ 0 = 0 P v P/ 0 = 0 P 7 , pak si body ty též affinně přísluší a proto 
P/ Pii = P/P^ a ježto OI = ý,Pj' P n , 0 M' = ~ P/ P 2 , proto 0~M= 
= OW. 
Relace ta plyne též bezprostředně z (1) a (2). 
2. Přímky PjP/, P 2 P 7/ , PjP 2 . PjPn tvoří čtyřstran opsaný parabole, 
která se zároveň dotýká os dané soustavy konfokální a jejíž přímkou ří- 
dící jest kolmice se středu O na přímku M M' čili symetrála bodů M, M' 
a zároveň chordála kružnic opsaných nad průměry P l P II< P 2 P/. 
Neboť parabola dotýkající se stran řečeného čtyřstranu náleží k řadě 
kuželoseček tomuto vepsaných, jejichž středy leží na přímce MM' spo- 
jující středy jeho úhlopříčen, takže MM' udává směr pro osu paraboly, 
ježto střed její jest nekonečně vzdálený bod přímky M M' , takže přímka 
řídící paraboly jest kolmá k MM' . Vedeme-li tečny ke kuželosečkám uvedené 
řady z nekonečně vzdáleného bodu osy y obdržíme involuci přímek danou 
dvěma páry přímek vedených body Pj, P /7 a body P 2 , P 7 rovnoběžně k y; 
v této involuci dle rovnic (1) přísluší ose y přímka nekonečně vzdálená; 
ježto tato se dotýká uvedené paraboly, dotýká se jí tedy rovněži osa y. 
Obdobně seznáváme, že i osa x se paraboly té dotýká, takže přímka řídící 
její prochází bodem 0. Body průsečné kružnic nad průměry P 1 P n , P 2 P/ 
jsou středy involuci pravoúhlých tečen ku křivkám vytčené řady a tedy 
leží rovněž na přímce řídící uvažované paraboly. Z toho, že osy x, y se 
paraboly té dotýkají, pijme pak, že v dříve popsané affinitě dvou konfo- 
kalních ellips anebo hyperbol vzdálenosti sobě přidružených bodů (Pj, P 7 
resp. Pj, P 2 ) jsou osami jejich děleny v stálém poměru. 
Kdybychom přibližovali v soustavě konfokální iednu ellipsu nebo 
hyperbolu k druhé, až by splynuly, pak obdržíme známou větu, že osy 
kuželosečky, libovolné dvě její normály a spojnice jejich pat jsou tečnami 
paraboly. Přímka řídící této paraboly spojuje střed kuželosečky s bodem, 
který půlí vzdálenost uvedených pat. Splynou-li současně obě ellipsy 
a obě hyperboly, tu dospějeme k větě Steinerově, že parabola, která se 
dotýká os kuželosečky, dále tečny a normály její v některém bodě, se 
normály dotýká ve středu křivosti tohoto bodu. 
3. Pro soustavu konfokálních parabol se výsledky právě obdržené 
poněkud specialisují. Zde nechť nastupuje místo dřívější první ellipsy 
parabola (/>) a místo druhé ellipsy parabola (P); místo první hyperboly 
parabola (q) a místo druhé parabola (Q ) ; parametry těchto parabol budte 
příslušně p, P, q, Q. Přímky P x P 7 , P 2 P 77 , P x P 2 , P 7 P 77 jsou tu tečnami 
paraboly, která má společnou osu x konfokálních parabol za tečnu vrcho- 
lovou. Ježto střed kuželoseček konfokálních jest v nekonečnu, proto 
1 * 
XX. 
