5 
chovejme dřívější označení. Při ohniskové konstrukci ellipsy zvolíme na 
ose A 2 A X libovolný bod C a pak učiníme F X P = C A x , F 2 P = A 2 C; pak 
leží bod P na ellipse; budiž to společný bod její s vytčenou konfokalní 
hyperbolou. Je-li C' bod k C vzhledem k 0 souměrně položený jest C A x = 
A 2 C = F 2 P , takže F 2 P — F X P = C' A x - — C A x — C' C, z čehož vyplývá, 
že C C jest osa hlavní hyperboly a že tedy C = A x , C' = A 2 '. 
Máme-li tedy v naší soustavě konfokalní mimo vytčenou ellipsu, 
ještě ellipsu degeneruj ící v dvojnou úsečku F 2 F 1 na přímce F 2 F X a mimo 
vytčenou hyperbolu ještě hyperbolu degenerující v přímku F 2 F X , tu 
rovnice P F x = A x A x , P F 2 — A 2 A X jsou právě výrazem věty Ivory-ho 
pro tento zvláštní případ. 
Uvažujme nyní pomocnou ellipsu, která má OP za jeden poloměr 
a úsečku O G = O F x — e kolmou ku O F x za poloměr k němu sdružený. 
Když máme v rovině dva sdružené poloměry ellipsy 0 P , 0 G a otočíme 
jeden z nich, na př. O G kolem O o pravý úhel v jednom i druhém možném 
smyslu do poloh O G lt O G 2< tu vzdálenost jednoho z bodů G x , G 2 od P 
rovná se součtu, druhého pak rozdílu poloos ellipsy. Jest to známá vlast- 
nost přicházející hlavně k platnosti při konstrukci os ellipsy ze dvou daných 
průměrů sdružených. Pro naši ellipsu pomocnou jest tedy jedna z úseček, 
na př. P F x rovna rozdílu, a tedy úsečka P F 2 rovna součtu poloos; 
ježto tu ale P F x = C A x = a — «, P F 2 — A 2 C — a -f- a, proto jsou a a u 
délky těchto poloos; následkem toho dle známé věty o sdružených prů- 
měrech ellipsy jest a 2 J- a 2 = O P 2 -)- O G 2 čili 
O P 2 = b 2 + 
a tudíž 
OP = B 1 A 1 ', 
což jest výraz dalšího specielního případu věty Ivory-ho. 
Máme-li v soustavě konfokální libovolné dvě ellipsy a dvě hyper- 
boly, jest následkem toho 
di + du = b x 2 + a 2 J- b 2 - + a 2 , 
d£ + d 2 — b 2 -f- h ž j -(- b 2 2 -j- a x 2 , 
tedy 
jako dříve. Z rovnice 
d 2 + d n 2 = d 2 + d 2 
x i x n — x 2 x i< y i y n — y 2 y i 
plynou rovnice 
d x d n cos {d x x ) cos ( d n x ) = d 2 dj cos ( d 2 , x) cos (d x , x) 
d x d u sin (d v x) sin [d u , x) = d 2 d x sin (< i 2 , x) sin {d x , x) 
z nichž sečtením plyne relace 
d\ d u cos [d x djjj — d 2 d x cos (ťfo djj 
XX. 
