6 
Applikujeme-li nyní na trojúhelníky OP 1 P II , 0P 2 P 7 větu kosi- 
nusovu, shledáme, že P 1 P 77 = PTP 7 . 
Aneb můžeme mysleti si úsečku U~P X * = 0 P x kolmou k O P x dále 
úsečku O P 2 * = O P 2 kolmou ku OP 2 a přihlížeti k dvěma pomocným 
ellipsám. z nichž jedna má O P n , O P x *, druhá OP/, O P 2 * za sdružené 
poloměry; poněvadž tu jest O P 77 2 O P x * 2 = O Pf + OP 2 * 2 následkem 
relace d x + d n * = d 2 2 + d / 2 a dále O P// .OP x * sin (OP 77 , O P x *) = OP/ . 
■ OP 2 * sin (O P/, O P 2 *) následkem relace újú// cos ( d x ,d u ) = d 2 ú 7 cos (d 2 , ú/) 
proto jsou t 3 Úo pomocné ellipsy shodné. Ze známé konstrukce plyne 
opět, že úsečka P x Pn jest rovna buď součtu neb rozdílu poloos pro ellipsu 
prvou a úsečka P 2 P/ analogicky pro ellipsu druhou; ježto ale tyto jsou 
shodný; proto 
Pí Pii = P 2 P i • 
5. Pro konfokální paraboly můžeme usuzovati následovně. 
Především jsme seznali z konfokálnosti přímo, že x x + x n = x 2 + x 7 
a že tedy spojnice bodů M, M' jest kolmá k %. V příbuznosti parabol (P), 
(p) platí pro souřadnice x h x L libovolných dvou bodů P h P L , které na 
i i P — p 
nich jsou sobě přidruženy, že [ x L — x t | = ; tedy platí vůbec 
pro souřadnice ^ libovolného páru bodů, které si kdekoliv v rovině pří- 
P — p 
buzností tou odpovídají, že rozdíl jejich má absolutní hodnotu — - — . 
Sečou-li tudíž přímky P x P 2 , P 7 P n osu x v bodech L x 2 , L : n bude také 
i i P — p 
\Lii 1 L x2 \— — *) • Obdobně soudíme, značí-li L /f L 21I průsečíky 
přímek P x P 7 , P 2 P n s osou x, že | L x t L 2 n [ = — - — . 
Nyní si vytkněme parabolu g, která má x za tečnu vrcholovou a 
dotýká se přímek P X P 2 , P I P II . Promítneme-li úsečku, kterou tyto přímky 
z libovolné další tečny paraboly vytínají orthogonalně na tečnu vrcho- 
lovou x, tu ze známé vlastnosti paraboly víme, že délka toho průmětu 
rovná se L x 2 P 7 77 . Naopak naneseme-li na x úsečku S x ' S/ = L x 2 Lj u 
a protneme kolmice v Sý a S/ ku x vztýčené příslušně s tečnami P x P 2 , 
Pí Pii v bodech 5 7 , S 77 pak jest přímka 5 X 5 77 rovněž tečnou paraboly g. 
Z toho soudíme, že přímky P x P 7 , P 2 Pn se taktéž naší paraboly dotýkají a 
že tedy parabola ta jest totožnou s parabolou dříve uvažovanou. Spusťme 
nyní s L 7 77 kolmici na P x P 7 až protne přímku P 7 P/ v bodě R. Bod ten 
jest průsečíkem výšek v trojúhelníku P 7 77 L x 7 P 7 parabole opsaném a 
náleží tudíž přímce řídící paraboly. 
Protne-li dále kolmice s I 12 na P x P 7 přímku P x P x ' v bodě S jsou 
trojúhelníky L x 77 P/ R, L X2 P X S shodné a proto P x S = P/ R, pročež 
R S || x, jak musí býti, ježto bod S leží taktéž na přímce řídící. 
Z podobných trojúhelníků 
L IU P/R, P i P/ L x i 
XX. 
