8 
druhá affinita, v níž O, x, y jsou elementy samodružné. Zvolíme-li specielně O 
v nekonečnu na přímce řídící, dojdeme takto k soustavě čtyř parabol 
konfokálních. 
Že tomu tak jest, plyne z následující úvahy. 
Ctyřstran stanovený přímkami P x P 2 , P 2 P n , P n P 7 , P 7 P x , pro 
nějž P 1 P n — P 2 P/ stanoví parabolu g, pro niž směr osy jest dán přímkou 
spojující střed M x úsečky P x Pn se středem M 2 úsečky P 2 P 7 a jak víme, 
jest symetrála s bodů M x , M 2 přímkou řídící její. Budtež x, y libovolné 
dvě k sobě kolmé tečny paraboly, které se tedy protínají v bodě O na s. 
Stanovme nyní affinitu mající O za samodružný bod, x, y za samodružné 
přímky, v níž bodu P x útvaru jednoho £ x nechť přísluší bod P 7 útvaru 
druhého £j. Označme x x , y k pravoúhlé souřadnice bodu P A vzhledem ku 
soustavě O (x, y), pak platí vzhledem k stranám vytčeného čtyrstranu 
a k x resp. y jakožto tečnám paraboly, označíme-li ještě X x 7 , X 2 n resp. 
Y XI , Y 2 n průsečíky přímek P x P 7 , P 2 P 77 s osou v resp. y, jak známo 
úměry 
f;={P 1 P,X 11 )=(P 1 P, I X, n ) = f i 
T- = (Pl P, Yi ,) = (Pi Pn V, u)=^~- 
Xi Xjj 
Následkem těchto úměr přísluší v naší afíinitě bodu P 2 v 2 X bod 
P 77 v £j. Body P x , P j proložme kuželosečkou m x mající v a y za osy 
a veďme k ní kuželosečky konfokalní n x , n z , které ji protínají v P x resp. P 7 
orthogonalně. Tu víme, že v naší afíinitě stanovené párem bodů P x , P 7 
křivce n x odpovídá křivka « 7 . Snadno dokážeme, že obecně křivka n x 
prochází též bodem P 2 a křivka n x bodem P 77 a ježto tyto body sobě rovněž 
přísluší, proto lze jimi vésti křivku m 2 konfokalní s uvažovanými křiv- 
kami. Neboť kdyby bod P 2 neležel na n x , takže by bod P 77 též neležel na n v 
pak přímka P x P, by protla n x ještě v bodě L x a přímka P 7 P 77 by protla % 
ještě v bodě P 7 bodu L x affině přiřaděném, a dle věty Ivory-ho by bylo 
P x L : = P 7 L x . Ježto dle affinity jest (P x P 2 L x ) = (P 7 P 7/ P 7 ), proto přímka 
L x Li by byla tečnou paraboly g. Označíme-li M x , M 2 středy úseček 
P x Li, Pi L x , pak by přímka M x M 2 udávala směr pro osu této paraboly, 
tedy by bylo M x M 2 [| M x M 2 a z rovnosti P x Li = P t L x plynulo by 
dále, že by přímka její řídící s musela býti též symetralou bodů M x , M 2 . 
Přímky M x M x , M 2 M 2 , z nichž prvá by byla rovnoběžná ku P/ Pn, druhá 
ku P ]P 2 > by se protnuly ve středu S úsečky P x Pi, kterýmžto bodem by 
musela procházeti též přímka řídící s a trojúhelník M x M 2 S by byl rovno- 
ramenný, mající s za výšku. Ze shodných trojúhelníků P x M x S, P/ M 2 S 
plynulo bjg že P 7 P 7 J s a tedy P x P 7 || M x M 2 1| M x M 2 || P 2 Pn || L x P 7 . 
Není-li tedy čtyřúhelník P x P 2 P 77 P 7 rovnoramenným lichoběžníkem, 
pak musí následkem toho L x = P 2 , L x = P 77 . 
XX. 
