9 
Je-li ale takovým lichoběžníkem a zvolíme-li na s libovolný bod O 
za střed kuželosečky m x procházející body P x , P 2 , Po Pu jest tím tato 
úplně stanovena, jakož jsou i koncovými body jedné i druhé z rovno- 
běžných jeho stran stanoveny kuželosečky n x , resp. n 1 mezi sebou a s m x 
konfdkalní; přímka s jest tu jednou společnou osou všech těch kuželoseček. 
Zvolíme-li specielně O v průsečíku ramen lichoběžníka, degeneruje m x 
v tato ramena a n v n I jsou kružnice kolem bodu 0 jakožto středu. 
7. Abychom dospěli k větě Ivory-ho pro prostor, vylučme zatím 
z úvah našich hyperbolický paraboloid a vzhledem k ostatním plochám 
2. stupně dokažme si nejprv následující jednoduchou větu: 
Vytkneme-li si na libovolných dvou křivkách kruhových k, l dvě po- 
dobné řady bodové K x , K 2 , ... K t , . . . resp. L x , L 2 ... .. . a zvolíme-li 
libovolný bod v prostoru V k za vrchol kužele opírajícího se o k, pak lze sta- 
novití vrchol V t kužele opírajícího se o křivku l tak aby V k K x = V, L x , V k I\ 2 = 
— V, L 2 , . . . V k K t = V, L t , . . . ' (I) 
Přiřadujeme-li pak dle věty této dva prostory bodové k sobě po- 
mocí kružnic k a l tu dvojice bodů prostoru jednoho souměrně polože- 
ných k rovině kružnice k se jednoznačně transformují ve dvojice bodu 
prostoru druhého' souměrně položených k rovině kružnice /. 
Víme, že místem bodů P pro něž poměr vzdáleností A X P : A 2 P od 
dvou pevných bodů v prostoru A x , A 2 má stálou hodnotu A jest plocha 
kulová, která má přímku A X A 2 za průměr a odděluje body A x , A 2 od sebe 
harmonicky. Jsou-li B x , B 2 koncové body toho průměru, jest tedy 
(A 1 A 2 B 1 B 2 ) = — 1. Položme přímkou A x A 2 dvě k sobě kolmé roviny A, B; 
opišme v první kružnici a nad průměrem A X A 2 , v druhé kružnici b nad 
průměrem B X B 2 takže prve uvedená koule má b za kružnici nej- 
větší. Jsou-li V x , V 2 libovolné dva body kružnice b, tu, ježto body ty 
leží na K» platí relace 
VjA x = VýA x 
v^a 2 v^a 2 
čili 
V 2 A x _ V 2 A 2 
VŤÁ X ~V^Á 2 
Všechny body Q pro něž platí relace 
= ,«• 
V£ 
V X Q 
= [i leží patrně na kouli Iv 
mající svůj střed S na přímce V x V 2 a poněvadž body A x , A 2 náleží taktéž 
této kouli, proto jest 5 průsečíkem přímky V x V 2 se symetrální rovinou 
bodů A x , A 2 , tedy leží 5 v rovině B a jest v ní průsečíkem symetrály m 
bodů A x , A 2 s přímkou V x V 2 . Následkem toho leží kružnice a rovněž 
V~A • 
na kouli Iv, pročež pro každý bod A i na křivce a platí relace ■ 2 = f i. 
V x Ai 
Máme-li tedy kužel opírající se o křivku kruhovou a a mající vrchol 
svůj v bodě V x stanovíme vrchol V 2 kužele opírajícího se též o a té vlast- 
XX. 
