12 
rovnají hranám kužele druhého spojujícím vrchol K m s body podobně 
příslušnými K v A 2 , A 3 , následkem toho platí dle věty (I) pro každý pár 
sobě příslušných bodů Kj, Kj rovnost K z K f = K in K-. 
Tím ale jsme vedeni k obecné prostorové větě Ivory-ho. 
Uvažujme tedy libovolné dva body A ;) K l na A 1 a příslušné body 
I\j, K l na Aj. Při tom mohou býti A v A 1 plochami 2. stupně jinak libo- 
volného druhu, jsou-li to ale dva dvojdílné hyperboloidy, tu předpoklá- 
dejme na okamžik, že A-, K t leží oba bud na jednom neb druhém dílu 
plochy A x takže rovněž i body K f , K L leží oba na jednom dílu plochy Aj. 
Patrně můžeme ve všech uvažovaných případech dospěti od bodu K- 
k bodu Ki nepřetržitě cestou na ploše vedenou po Samých kružnicích 
reálných; dejme tomu, že by to byly kružnice kj, k a , k b , . . . k h při čemž 
roviny křivek těch náleží střídavě jednomu neb druhému ze stávajících 
svazků rovin, v nichž řezy reálné jsou obsaženy. Tak dojdeme na první 
kružnici od bodu A ; až k bodu K a ležícímu též na kružnici k a , odtud po k a 
až k bodu K b náležejícím křivce k b a tak dále až k bodu K t . Na ploše A 1 
budou těmto útvarům odpovídati analogicky kružnice kj, k A , k B . . . k L a 
body Kj, I\ a , K b , . . . K L , takže přejdeme od Kj ku K L na ploše A x po 
obloucích kruhových přes body K A , K B , . . . Při tom můžeme dráhy uve- 
dené zaříditi tak, aby žádný z uvedených bodů neležel na h x resp. h B Po- 
něvadž jsou Kj, K a na téže kružnici k • a obdobně K } , K Á na příslušné 
kružnici k : , proto jest K, Ka = KjK a . Dále uvažujme kužele (A ; - k A ) a 
(. Kjk a ). Zde se rovnají tři hrany kužele jednoho příslušným hranám ku- 
žele druhého, totiž úsečky, které spojují bod K ] s body průsečnými kružnice 
k A s křivkou h L rovnají se příslušně úsečkám, jež spojují Kj s přináleže- 
jícími průsečíky kružnice k a s křivkou h x a mimo to jest A ; K Á = Kj K a . 
Následkem toho se rovná úsečka spojující Aý s libovolným bodem na k A 
úsečce, která spojuje Kj s příslušným bodem na k a , tedy zvláště A, K B = 
Kj Aj. Přejdeme-li nyní obdobně dále na k B k b resp. k B seznáme opět, 
že KjK c = KjK c a tak dále, až konečně obdržíme, že K } K L — K } K,. 
Tím jest důkaz obecné věty Ivory-ho proveden. Zbývá jen ještě 
případ, když body A ; a K, leží na různých dílech dvojdílného hyperboloidu 
a kdy tedy není dříve popsaná dráha mezi A ; a K l možná. V tom případě 
podle našeho označení leží jeden díl souměrně k druhému vzhledem ku 
rovině (y 2 ). Buďtež tu A/, Aý body ku A ; , Kj souměrně položené, pak 
si body Kj' , Kj' též affinně odpovídají. Nyní můžeme body A/, K, ježto 
jsou na térnže dílu plochy A 1 spojití dráhou A/ K a K b . . . K l složenou 
z oblouku křivek kruhových k- , k a , k b . . . k t a obdobně body Kj , K L na Aj 
obdobnou dráhou affinně příslušnou Aý K A K B . . . K L způsobem prve 
popsaným. Tu jest na základě souměrnosti vzhledem ku (y z) nejprv 
Kj Kj' — Kj Kj' a dále obdržíme kužele (A ; kj'), ( K r k /) v nichž tři, 
tedy všecky příslušné si hrany se sobě rovnají, takže Kj K a = Kj K a , atak 
můžeme pokračovati dále až dospějeme opět k rovnosti A 7 K L = Kj Ki. 
XX. 
