13 
10. Zvláště nutno vyšetřiti hyperbolické paraboloidy, které nemají 
vlastních řezů kruhových a které jsme proto z úvah našich dosud 
vylučovali. 
Budtež V x vrchol a (pý), ( P x ) paraboly v hlavních rovinách ( xy ), (x z) 
o parametrech py, Py pro takový paraboloid A t . Stanovme nejprv délku 
úsečky libovolné přímce plošné přináležející a rovinami hlavními omezené. 
Přímka ta nechť seče první parabolu v bodě Ay, druhou v bodě A 2 ; 
průměty orthogonalní těchto bodů na # označme Aý , A 2 '. Bodem Ay 
položme parabolu (qy) s (py) konfokalní a bodem A 2 parabolu (q 2 ) 
s (Py) konfokální. Vrcholy těchto parabol budtež Uy, U 2 . Z dřívějšího 
víme, že AýVy rovná se poloparametru křivky (qy), VyA 2 ' onomu křivky (q 2 ) 
a ježto Ay Aý jest tečnou pro (pý, A 2 Ay' pro (Py) proto jest Aý V x = Vy Aý 
a tudíž mají (qý), (q 2 ) týž parametr q. Délky Ay Aý, A 2 Aý jsou výškami 
trojúhelníků pravoúhlých, jejichž odvěsny jsou normálami zde uvedených 
parabol. Proto jest Aý Aý 2 = q 2 , Aý Aý = py q, Aý Aý = Py q a proto 
AyAý — q (py + Py + <?) • 
Mějme nyní paraboloid hyperbolický Ax k danému konfokální 
0 vrcholu Ví <l pí. Pí budtež parametry jeho parabol hlavních (pý), (Pý). 
V známé nám příbuznosti obou ploch přísluší bodu Ay bod A/ na (g^), 
bodu A 2 bod A u na (qý a proto jest Ay Au 2 = q (pí A~ Pí A~ q). Po- 
něvadž Pí -j- pí = Py -j- py, ježto uvedené součty parametru rovnají se 
dvojnásobné vzdálenosti / vrcholů parabol fekálních pro Aj a Ax čili para- 
metru parabol těch, proto Ai A u = A x A 2 . 
Volme označení ploch A x , Ai tak, aby Py > Py , pak máme kladouce 
p p 
Vy Vy = — — = v a majíce zřetel k tomu, že AýA x ý — AýAý+ AýAyý 
= q + v 
Ay A// 2 = (q A- v) 2 A- q (py + Pý) = v 2 -|- q 2 -j- q (py -j- Pí + 2 v) 
a obdobně 
Ai A 2 = (q — v) 2 + q (pí + Pý) = v 2 + q 2 + q (pí + Py — 2 v), 
tedy 
Ay A a 2 = v 2 A~ q (q + Pi + pý), Ay Aý = v 2 A- q (q + Pí + pí) ■ 
Máme tudíž relace 
Ay A 2 = Ay Au = M q (q + /) = m 
Ay An= Ay A 2 — "V m 2 + v 2 (1) 
následkem toho jsou trojúhelníky A 1 A 2 A II , A z A n A 2 shodný a rovněž 
1 trojúhelníky AyAyA 2 , AjAyAyy. Proto přímka AyA f jest k přímkám AyA 2 , 
AyA n stejně nakloněna a rovněž i přímka A 2 A n . Značí-li A s , A 4 libo- 
volné body na A x A 2 a A m , A 1V příslušné jim body na AyA n , tu pře- 
devším z příbuznosti ploch Aj, Aj plyne podobnost řad bodových Ay, A 2 , 
A 3 , Ay, ... a Ay, Ayy, Ayyy, Ayy, ... a jeŽtO Ay d, = AyAyy pl'OtO přC- 
chází podobnost ta v shodnost, čímž dospíváme ke známé větě, že pří- 
XX. 
