14 
slušné sobě délky na přímkách dvou koníokálních paraboloidu hyperbo- 
lických se sobě rovnají. 
Jsou tudíž trojúhelníky A x A/ A.,, A/ A x Am shodnv, ježto A X A : = 
= Aj A x , A x A 3 = A/ A m, <Ú Ai A x A 3 = A x A : Am, pročež A l Am, 
= Ai A 3 a trojúhelníky A x A^ Am, A z Am A 3 jsou shodný, tak že úhly 
jejich při A 3 a A m se sobě rovnají a tudíž i trojúhelníky A 4 A 3 A m , 
A iv Am A 3 shodný jsou, z čehož usuzujeme, že A 4 Am = A [V A 3 . 
Věta Ivory-ho platí tu tedy nejprv pro páry bodů sobe příslušných 
Aj, Aj\ A h A l takových, že přímka A j A l leží na ploše A 4 a tedy přímka 
Aj A l na ploše A 4 . 
11. Úvahy, které nás vedly k relacím (1) nelze ale bezprostředně pro- 
vésti pro případ, že uvažované přímky povrchové jsou přímkami vrcho- 
lovými. Seče-li přímka vrcholová jedna ploch}’ A x libovolnou přímku 
její A x A 2 v bodě A u tedy příslušná přímka vrcholová plochy A x přímku 
Aj A ii v bodě A l ku A t příslušném, jsou souřadnice y a z bodu A, patrně 
rovny -y A X 'A X , A 2 ' A 2 čili čtverce jejich rovnají se ~ q p x , resp. -- q P x 
Jest tudíž 
V~V = Jí (P, +/>,). VTÁČ=~q(P, + h) 
takže opět V x V i = V i A L . 
Ze shodnosti trojúhelníků V/ V x A u V x V i A L plyne V x A L = V i A t 
a tedy, jsou-li A k , A K další dva sdružené body na přímkách těch, jest 
A l A k =Ai A k . Ze shodných trojúhelníků Ai A L V X , A L A t V x plyne 
< Ai lA A l =<£A ± V x Ai, takže i trojúhelníky A t V f A K , A L V X A k jsou 
shodný; pročež A, A K = A L A k . Tedy relace (1) platí též vzhledem ku 
přímkám vrcholovým. 
12. Dále si vytkněme na paraboloidu A 4 libovolný bod B x a bod C x , 
který leží libovolně na některém hlavním jeho řezu, řekněme (p x ) ; bodům 
těm nechť na A x příslušejí body Bj, C 7 , poslední z nich na řezu hlavním {p r ). 
Dokažme, že jest též B x C r = B x C x . 
Bodem B x veďme na A 4 jednu přímku protínající (p x ) v bodě Z) 4 ; 
příslušný bod Dj jest průsečík přímky BjDj na A x ležící s (pj). Body C x , C 7 
veďme na našich plochách přímky, z nichž nechť první seče B x D x a to 
v bodě E x , druhá pak Bj D r v bodě E x . Patrně jsou tu trojúhelníky D x Cj E x , 
Dj C x Ej shodný, ježto C 7 D x = C x Dj dle Ivory-ho věty platné pro roviny 
a že ostatní příslušné strany se sobě rovnají, bylo prve dokázáno. Proto 
úhlv jejich při D x a D t se sobě rovnají a trojúhelníky D X C : B x , D I C x B l 
jsou shodný, takže vskutku B x Ci~BiC x . 
Konečně uvažujme libovolné dva body G x , na A 4 a příslušné jim 
body na A x . Bodem G x veďme jednu přímku plochy A 4 protínající {pp 
v C x a bodem H x přímku, která G X C X protíná a sice v bodě, jejž označíme 
E x , průsečík přímky té s (ý 4 ) budiž D x . Sestrojme si na A l příslušné útvary 
XX. 
