lo 
affinní. Dle dosavadních vět jest G/ E x = G x E r ježto přímky G X E X1 Gj Ei 
náleží Aj resp. Ai , dále G/ D x = G x Di , jak právě dokázáno. Z troj- 
úhelníků shodných G/ D x E v G x Di Ej plyne, že <^C Gj D x E x = G x Dj Ei 
takže trojúhelníky G, D x H x , G x D t Hj jsou shodný, pročež Gj H x = G x Hi . 
Tato rovnost jest konečně vyjádřením obecné věty Ivory-ho pro konfo- 
kální paraboloidy hyperbolické. Vidíme, že důkaz věty této postupné pro- 
vedený vyžadoval jen těch nej elementárnějších vět geometrických. 
13. Větu, že sobě příslušné úsečky na přímkách povrchových v sou- 
stavě konfokálních hyperbolických paraboloidů se sobě rovnají, lze rychle 
dokázati též takto. Dokážeme nejprv, že pro příslušné si body A v A r na přím- 
kách vrcholových jest V 1 A 1 = V f A f tak, jak jsme to prve provedli. Na to 
posuneme Aj ve směru .v do polohy Aj * tak aby vrchol V / splynul s V v čímž 
přejde Aj do A I *. Z příbuznosti obou ploch Aj, Aj plyne, že posunutím 
přejde příbuznost ta v takovou affinitu mezi A x a Aý, v níž řada bodová 
na % jest samodružná. IJsečky na přímkách rovnoběžných mají poměr, 
který affinitou se nemění. Vedeme-li k přímce povrchové m x na A x ná- 
ležející téže řadě přímek plochy té jako V x A x rovnoběžku bodem A v protne 
tato osu x v bodě M a to proto, že rovina (x V } A x ) jest rovinou řídící 
pro Aj. Poněvadž M jest v posledně stanovené affinitě bodem samo- 
družným, proto v ní úsečce M A x odpovídá úsečka M Aj* a jest patrno, 
že M A j* = M A j. Z toho plyne, že affinitou touto příslušné si úsečky 
na Wj a též se sobě rovnají; což platí i o úsečkách sobě příslušných 
na m í a m I v uvažované affinitě ploch Aj, A r Ze souvislosti té plyne též, 
že úhel, který určují libovolné dvě přímky mimoběžné na Aj rovná se úhlu, 
který určují příslušné přímky na Aj. 
14. Když již jsme dokázali větu Ivory-ho pro ostatní plochy druhého 
stupně, tu platnost její pro dva hyperbolické paraboloidy plyne pak kratčeji 
nežli jsme to právě provedli a beze všech výpočtů. Abychom totiž dokázali, 
že G/ H x — G X H V mysleme si položeny bodem Gj další dvě plochy konfo- 
kalní; jsou to dva elliptické paraboloidy B, C, jejichž osy mají různé smysly. 
První nechť seče A x v křivce b v druhý v křivce q; kdežto plochu Aj pro- 
tínají v křivkách Ď 7 , resp. c 7 . Průsečná křivka ploch B, C protíná Aj 
v bodě G 7 . Bodem H L položme možné další dvě plochy s danými konfo- 
kální B *, C* z nichž jedna, řekněme první bude paraboloidem elliptiekým 
stejně položeným s B, druhá obdobně bude elliptiekým paraboloidem 
stejně položeným s C. Průsečná křivka ploch B*, C* seče A t příslušně 
v bodě H x . 
Plochy B a C* protínají se v křivce, procházející bodem L x = b x . q* 
a bodem L : = 6 7 . q* jemu příslušným v affinitě mezi Aj a A x stanovené. 
Rovněž tak křivka průsečná ploch C a B * stanoví dva takové body 
M 1 = c 1 .b 1 *, M I = c I .'b I t \ Všechny zde vyznačené body jsou, jak 
známo, reálné. Můžeme přihlížeti nejprv k elliptiekým paraboloidům 
B, B* a vytknouti si karakteristickou affinitu jejich, v níž tedy bodům 
XX. 
